Theorem expge1 10685

Description: A real greater than or equal to 1 raised to a nonnegative integer is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge1	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expge1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4038	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ A ) )
2	1	elrab 2920	. . . . 5 |- ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 1 <_ A ) )
3		ssrab2 3269	. . . . . . 7 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ RR
4		ax-resscn 7988	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3193	. . . . . 6 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ CC
6		breq2 4038	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ x ) )
7	6	elrab 2920	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
8		breq2 4038	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ y ) )
9	8	elrab 2920	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 1 <_ y ) )
10		remulcl 8024	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
11	10	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
12		1t1e1 9160	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
13		1re 8042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
14		0le1 8525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 1
15	13, 14	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 )
16	15	jctl 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) )
17	15	jctl 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) )
18		lemul12a 8906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
20	19	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) )
21	12, 20	eqbrtrrid 4070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
22	21	an4s 588	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
23		breq2 4038	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( x x. y ) ) )
24	23	elrab 2920	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( x x. y ) e. RR /\ 1 <_ ( x x. y ) ) )
25	11, 22, 24	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
26	7, 9, 25	syl2anb 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 1 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
27		1le1 8616	. . . . . . 7 |- 1 <_ 1
28		breq2 4038	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ 1 ) )
29	28	elrab 2920	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 1 <_ 1 ) )
30	13, 27, 29	mpbir2an 944	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. RR | 1 <_ z }
31	5, 26, 30	expcllem 10659	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
32	2, 31	sylanbr 285	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
33	32	3impa 1196	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
34	33	3com23 1211	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
35		breq2 4038	. . . 4 |- ( z = ( A ^ N ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( A ^ N ) ) )
36	35	elrab 2920	. . 3 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 1 <_ ( A ^ N ) ) )
37	36	simprbi 275	. 2 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } -> 1 <_ ( A ^ N ) )
38	34, 37	syl 14	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   <_ cle 8079   NN0cn0 9266   ^cexp 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-exp 10648

This theorem is referenced by:  expgt1  10686  leexp2a  10701  expge1d  10801