Theorem expge1 11034

Description: A real greater than or equal to 1 raised to a nonnegative integer is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge1	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expge1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4135	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ A ) )
2	1	elrab 2982	. . . . 5 |- ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 1 <_ A ) )
3		ssrab2 3333	. . . . . . 7 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ RR
4		ax-resscn 8277	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3257	. . . . . 6 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ CC
6		breq2 4135	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ x ) )
7	6	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
8		breq2 4135	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ y ) )
9	8	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 1 <_ y ) )
10		remulcl 8313	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
11	10	ad2ant2r 513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
12		1t1e1 9466	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
13		1re 8331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
14		0le1 8816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 1
15	13, 14	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 )
16	15	jctl 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) )
17	15	jctl 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) )
18		lemul12a 9200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
20	19	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) )
21	12, 20	eqbrtrrid 4167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
22	21	an4s 596	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
23		breq2 4135	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( x x. y ) ) )
24	23	elrab 2982	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( x x. y ) e. RR /\ 1 <_ ( x x. y ) ) )
25	11, 22, 24	sylanbrc 421	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
26	7, 9, 25	syl2anb 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 1 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
27		1le1 8908	. . . . . . 7 |- 1 <_ 1
28		breq2 4135	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ 1 ) )
29	28	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 1 <_ 1 ) )
30	13, 27, 29	mpbir2an 955	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. RR | 1 <_ z }
31	5, 26, 30	expcllem 11008	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
32	2, 31	sylanbr 285	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
33	32	3impa 1225	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
34	33	3com23 1240	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
35		breq2 4135	. . . 4 |- ( z = ( A ^ N ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( A ^ N ) ) )
36	35	elrab 2982	. . 3 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 1 <_ ( A ^ N ) ) )
37	36	simprbi 275	. 2 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } -> 1 <_ ( A ^ N ) )
38	34, 37	syl 14	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   x. cmul 8190   <_ cle 8367   NN0cn0 9574   ^cexp 10996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-exp 10997

This theorem is used by:  expgt1  11035  leexp2a  11050  expge1d  11151