Theorem expge1 10559

Description: A real greater than or equal to 1 raised to a nonnegative integer is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge1	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expge1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ A ) )
2	1	elrab 2895	. . . . 5 |- ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 1 <_ A ) )
3		ssrab2 3242	. . . . . . 7 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ RR
4		ax-resscn 7905	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3166	. . . . . 6 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ CC
6		breq2 4009	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ x ) )
7	6	elrab 2895	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
8		breq2 4009	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ y ) )
9	8	elrab 2895	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 1 <_ y ) )
10		remulcl 7941	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
11	10	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
12		1t1e1 9073	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
13		1re 7958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
14		0le1 8440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 1
15	13, 14	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 )
16	15	jctl 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) )
17	15	jctl 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) )
18		lemul12a 8821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
20	19	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) )
21	12, 20	eqbrtrrid 4041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
22	21	an4s 588	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
23		breq2 4009	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( x x. y ) ) )
24	23	elrab 2895	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( x x. y ) e. RR /\ 1 <_ ( x x. y ) ) )
25	11, 22, 24	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
26	7, 9, 25	syl2anb 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 1 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
27		1le1 8531	. . . . . . 7 |- 1 <_ 1
28		breq2 4009	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ 1 ) )
29	28	elrab 2895	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 1 <_ 1 ) )
30	13, 27, 29	mpbir2an 942	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. RR | 1 <_ z }
31	5, 26, 30	expcllem 10533	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
32	2, 31	sylanbr 285	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
33	32	3impa 1194	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
34	33	3com23 1209	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
35		breq2 4009	. . . 4 |- ( z = ( A ^ N ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( A ^ N ) ) )
36	35	elrab 2895	. . 3 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 1 <_ ( A ^ N ) ) )
37	36	simprbi 275	. 2 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } -> 1 <_ ( A ^ N ) )
38	34, 37	syl 14	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   e. wcel 2148   {crab 2459   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   <_ cle 7995   NN0cn0 9178   ^cexp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522

This theorem is referenced by:  expgt1  10560  leexp2a  10575  expge1d  10675