Theorem expge1 10552

Description: A real greater than or equal to 1 raised to a nonnegative integer is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge1	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expge1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4006	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ A ) )
2	1	elrab 2893	. . . . 5 |- ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 1 <_ A ) )
3		ssrab2 3240	. . . . . . 7 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ RR
4		ax-resscn 7900	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3164	. . . . . 6 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ CC
6		breq2 4006	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ x ) )
7	6	elrab 2893	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
8		breq2 4006	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ y ) )
9	8	elrab 2893	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 1 <_ y ) )
10		remulcl 7936	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
11	10	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
12		1t1e1 9067	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
13		1re 7953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
14		0le1 8434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 1
15	13, 14	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 )
16	15	jctl 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) )
17	15	jctl 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) )
18		lemul12a 8815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
20	19	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) )
21	12, 20	eqbrtrrid 4038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
22	21	an4s 588	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
23		breq2 4006	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( x x. y ) ) )
24	23	elrab 2893	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( x x. y ) e. RR /\ 1 <_ ( x x. y ) ) )
25	11, 22, 24	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
26	7, 9, 25	syl2anb 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 1 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
27		1le1 8525	. . . . . . 7 |- 1 <_ 1
28		breq2 4006	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ 1 ) )
29	28	elrab 2893	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 1 <_ 1 ) )
30	13, 27, 29	mpbir2an 942	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. RR | 1 <_ z }
31	5, 26, 30	expcllem 10526	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
32	2, 31	sylanbr 285	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
33	32	3impa 1194	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
34	33	3com23 1209	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
35		breq2 4006	. . . 4 |- ( z = ( A ^ N ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( A ^ N ) ) )
36	35	elrab 2893	. . 3 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 1 <_ ( A ^ N ) ) )
37	36	simprbi 275	. 2 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } -> 1 <_ ( A ^ N ) )
38	34, 37	syl 14	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   e. wcel 2148   {crab 2459   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   CCcc 7806   RRcr 7807   0cc0 7808   1c1 7809   x. cmul 7813   <_ cle 7989   NN0cn0 9172   ^cexp 10514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-seqfrec 10441  df-exp 10515

This theorem is referenced by:  expgt1  10553  leexp2a  10568  expge1d  10667