Theorem ltleii 8421

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 8420	. 2 |- ( A < B -> A <_ B )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   RRcr 8171   < clt 8353   <_ cle 8354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-lttrn 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359

This theorem is referenced by:  0le1  8802  1le2  9495  1le3  9498  halfge0  9503  decleh  9793  5eluz3  9943  uzuzle23  9944  uzuzle24  9945  uzuzle34  9946  eluz4eluz2  9950  fz0to4untppr  10512  fzo0to42pr  10619  xnn0nnen  10855  4bc2eq6  11194  resqrexlemga  11770  sqrt9  11795  sqrt2gt1lt2  11796  sqrtpclii  11877  0.999...  12269  ef01bndlem  12504  sin01bnd  12505  cos01bnd  12506  cos2bnd  12508  cos12dec  12516  flodddiv4  12684  strleun  13438  dveflem  15753  sinhalfpilem  15818  sincosq1lem  15852  sincos4thpi  15867  sincos6thpi  15869  pigt3  15871  pige3  15872  cosq34lt1  15877  cos02pilt1  15878  cos0pilt1  15879  rpabscxpbnd  15968  2logb9irr  15999  2logb9irrap  16005  lgsdir2lem1  16064  konigsbergiedgwen  16642  konigsberglem1  16646  konigsberglem2  16647  konigsberglem3  16648  ex-fl  16656  ex-gcd  16662