Theorem ltleii 7983

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 7982	. 2 |- ( A < B -> A <_ B )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 2128   class class class wbr 3967   RRcr 7734   < clt 7915   <_ cle 7916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-lttrn 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-xp 4595  df-cnv 4597  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921

This theorem is referenced by:  0le1  8361  1le2  9047  1le3  9050  halfge0  9055  decleh  9335  eluz4eluz2  9484  uzuzle23  9488  fz0to4untppr  10033  fzo0to42pr  10129  4bc2eq6  10660  resqrexlemga  10935  sqrt9  10960  sqrt2gt1lt2  10961  sqrtpclii  11042  0.999...  11430  ef01bndlem  11665  sin01bnd  11666  cos01bnd  11667  cos2bnd  11669  cos12dec  11676  flodddiv4  11838  strleun  12375  dveflem  13183  sinhalfpilem  13208  sincosq1lem  13242  sincos4thpi  13257  sincos6thpi  13259  pigt3  13261  pige3  13262  cosq34lt1  13267  cos02pilt1  13268  cos0pilt1  13269  rpabscxpbnd  13355  2logb9irr  13385  2logb9irrap  13391  ex-fl  13398  ex-gcd  13404