Theorem ltleii 8378

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 8377	. 2 |- ( A < B -> A <_ B )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   RRcr 8128   < clt 8310   <_ cle 8311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-lttrn 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-cnv 4759  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316

This theorem is referenced by:  0le1  8757  1le2  9448  1le3  9451  halfge0  9456  decleh  9746  5eluz3  9896  uzuzle23  9897  uzuzle24  9898  uzuzle34  9899  eluz4eluz2  9903  fz0to4untppr  10462  fzo0to42pr  10569  xnn0nnen  10803  4bc2eq6  11141  resqrexlemga  11712  sqrt9  11737  sqrt2gt1lt2  11738  sqrtpclii  11819  0.999...  12211  ef01bndlem  12446  sin01bnd  12447  cos01bnd  12448  cos2bnd  12450  cos12dec  12458  flodddiv4  12626  strleun  13334  dveflem  15608  sinhalfpilem  15673  sincosq1lem  15707  sincos4thpi  15722  sincos6thpi  15724  pigt3  15726  pige3  15727  cosq34lt1  15732  cos02pilt1  15733  cos0pilt1  15734  rpabscxpbnd  15822  2logb9irr  15853  2logb9irrap  15859  lgsdir2lem1  15918  konigsbergiedgwen  16496  konigsberglem1  16500  konigsberglem2  16501  konigsberglem3  16502  ex-fl  16510  ex-gcd  16516