Theorem ltleii 8285

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 8284	. 2 |- ( A < B -> A <_ B )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8034   < clt 8217   <_ cle 8218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-lttrn 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223

This theorem is referenced by:  0le1  8664  1le2  9355  1le3  9358  halfge0  9363  decleh  9648  5eluz3  9798  uzuzle23  9799  uzuzle24  9800  uzuzle34  9801  eluz4eluz2  9805  fz0to4untppr  10362  fzo0to42pr  10469  xnn0nnen  10703  4bc2eq6  11040  resqrexlemga  11604  sqrt9  11629  sqrt2gt1lt2  11630  sqrtpclii  11711  0.999...  12103  ef01bndlem  12338  sin01bnd  12339  cos01bnd  12340  cos2bnd  12342  cos12dec  12350  flodddiv4  12518  strleun  13208  dveflem  15477  sinhalfpilem  15542  sincosq1lem  15576  sincos4thpi  15591  sincos6thpi  15593  pigt3  15595  pige3  15596  cosq34lt1  15601  cos02pilt1  15602  cos0pilt1  15603  rpabscxpbnd  15691  2logb9irr  15722  2logb9irrap  15728  lgsdir2lem1  15784  konigsbergiedgwen  16362  konigsberglem1  16366  konigsberglem2  16367  konigsberglem3  16368  ex-fl  16376  ex-gcd  16382