Theorem ltleii 8074

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 8073	. 2 |- ( A < B -> A <_ B )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   RRcr 7824   < clt 8006   <_ cle 8007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-lttrn 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012

This theorem is referenced by:  0le1  8452  1le2  9141  1le3  9144  halfge0  9149  decleh  9432  eluz4eluz2  9581  uzuzle23  9585  fz0to4untppr  10138  fzo0to42pr  10234  4bc2eq6  10768  resqrexlemga  11046  sqrt9  11071  sqrt2gt1lt2  11072  sqrtpclii  11153  0.999...  11543  ef01bndlem  11778  sin01bnd  11779  cos01bnd  11780  cos2bnd  11782  cos12dec  11789  flodddiv4  11953  strleun  12578  cnfldstr  13739  dveflem  14483  sinhalfpilem  14508  sincosq1lem  14542  sincos4thpi  14557  sincos6thpi  14559  pigt3  14561  pige3  14562  cosq34lt1  14567  cos02pilt1  14568  cos0pilt1  14569  rpabscxpbnd  14655  2logb9irr  14685  2logb9irrap  14691  lgsdir2lem1  14725  ex-fl  14773  ex-gcd  14779