Theorem ltleii 8175

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 8174	. 2 |- ( A < B -> A <_ B )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   < clt 8107   <_ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113

This theorem is referenced by:  0le1  8554  1le2  9245  1le3  9248  halfge0  9253  decleh  9538  eluz4eluz2  9688  uzuzle23  9692  fz0to4untppr  10246  fzo0to42pr  10349  xnn0nnen  10582  4bc2eq6  10919  resqrexlemga  11334  sqrt9  11359  sqrt2gt1lt2  11360  sqrtpclii  11441  0.999...  11832  ef01bndlem  12067  sin01bnd  12068  cos01bnd  12069  cos2bnd  12071  cos12dec  12079  flodddiv4  12247  strleun  12936  dveflem  15198  sinhalfpilem  15263  sincosq1lem  15297  sincos4thpi  15312  sincos6thpi  15314  pigt3  15316  pige3  15317  cosq34lt1  15322  cos02pilt1  15323  cos0pilt1  15324  rpabscxpbnd  15412  2logb9irr  15443  2logb9irrap  15449  lgsdir2lem1  15505  ex-fl  15661  ex-gcd  15667