Theorem ltleii 8060

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 8059	. 2 |- ( A < B -> A <_ B )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   RRcr 7810   < clt 7992   <_ cle 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998

This theorem is referenced by:  0le1  8438  1le2  9127  1le3  9130  halfge0  9135  decleh  9418  eluz4eluz2  9567  uzuzle23  9571  fz0to4untppr  10124  fzo0to42pr  10220  4bc2eq6  10754  resqrexlemga  11032  sqrt9  11057  sqrt2gt1lt2  11058  sqrtpclii  11139  0.999...  11529  ef01bndlem  11764  sin01bnd  11765  cos01bnd  11766  cos2bnd  11768  cos12dec  11775  flodddiv4  11939  strleun  12563  cnfldstr  13460  dveflem  14190  sinhalfpilem  14215  sincosq1lem  14249  sincos4thpi  14264  sincos6thpi  14266  pigt3  14268  pige3  14269  cosq34lt1  14274  cos02pilt1  14275  cos0pilt1  14276  rpabscxpbnd  14362  2logb9irr  14392  2logb9irrap  14398  lgsdir2lem1  14432  ex-fl  14480  ex-gcd  14486