Theorem ltleii 8260

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 8259	. 2 |- ( A < B -> A <_ B )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 8009   < clt 8192   <_ cle 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198

This theorem is referenced by:  0le1  8639  1le2  9330  1le3  9333  halfge0  9338  decleh  9623  eluz4eluz2  9774  uzuzle23  9778  fz0to4untppr  10332  fzo0to42pr  10438  xnn0nnen  10671  4bc2eq6  11008  resqrexlemga  11550  sqrt9  11575  sqrt2gt1lt2  11576  sqrtpclii  11657  0.999...  12048  ef01bndlem  12283  sin01bnd  12284  cos01bnd  12285  cos2bnd  12287  cos12dec  12295  flodddiv4  12463  strleun  13153  dveflem  15416  sinhalfpilem  15481  sincosq1lem  15515  sincos4thpi  15530  sincos6thpi  15532  pigt3  15534  pige3  15535  cosq34lt1  15540  cos02pilt1  15541  cos0pilt1  15542  rpabscxpbnd  15630  2logb9irr  15661  2logb9irrap  15667  lgsdir2lem1  15723  ex-fl  16172  ex-gcd  16178