Theorem ltleii 8341

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
ltlei.1	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
ltleii	|- A <_ B

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 |- A < B
2		lt.1	. . 3 |- A e. RR
3		lt.2	. . 3 |- B e. RR
4	2, 3	ltlei 8340	. 2 |- ( A < B -> A <_ B )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- A <_ B

Syntax hints:   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  0le1  8720  1le2  9411  1le3  9414  halfge0  9419  decleh  9706  5eluz3  9856  uzuzle23  9857  uzuzle24  9858  uzuzle34  9859  eluz4eluz2  9863  fz0to4untppr  10421  fzo0to42pr  10528  xnn0nnen  10762  4bc2eq6  11099  resqrexlemga  11663  sqrt9  11688  sqrt2gt1lt2  11689  sqrtpclii  11770  0.999...  12162  ef01bndlem  12397  sin01bnd  12398  cos01bnd  12399  cos2bnd  12401  cos12dec  12409  flodddiv4  12577  strleun  13267  dveflem  15537  sinhalfpilem  15602  sincosq1lem  15636  sincos4thpi  15651  sincos6thpi  15653  pigt3  15655  pige3  15656  cosq34lt1  15661  cos02pilt1  15662  cos0pilt1  15663  rpabscxpbnd  15751  2logb9irr  15782  2logb9irrap  15788  lgsdir2lem1  15847  konigsbergiedgwen  16425  konigsberglem1  16429  konigsberglem2  16430  konigsberglem3  16431  ex-fl  16439  ex-gcd  16445