Theorem sincosq1lem 13499

Description: Lemma for sincosq1sgn 13500. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq1lem	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )

Proof of Theorem sincosq1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 13466	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
2		ltle 7994	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ ( pi / 2 ) ) )
3	1, 2	mpan2 423	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ ( pi / 2 ) ) )
4		pire 13460	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
5		4re 8942	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
6		pigt2lt4 13458	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
7	6	simpri 112	. . . . . . . 8 |- pi < 4
8	4, 5, 7	ltleii 8009	. . . . . . 7 |- pi <_ 4
9		2re 8935	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
10		2pos 8956	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
11	9, 10	pm3.2i 270	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
12		ledivmul 8780	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) ) )
13	4, 9, 11, 12	mp3an 1332	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) )
14		2t2e4 9019	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 2 ) = 4
15	14	breq2i 3995	. . . . . . . 8 |- ( pi <_ ( 2 x. 2 ) <-> pi <_ 4 )
16	13, 15	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ 4 )
17	8, 16	mpbir 145	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) <_ 2
18		letr 7989	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( A <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) -> A <_ 2 ) )
19	1, 9, 18	mp3an23 1324	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( A <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) -> A <_ 2 ) )
20	17, 19	mpan2i 429	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A <_ ( pi / 2 ) -> A <_ 2 ) )
21	3, 20	syld 45	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ 2 ) )
22	21	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ 2 ) )
23	22	3impia 1195	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> A <_ 2 )
24		0xr 7953	. . . 4 |- 0 e. RR*
25		elioc2 9880	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 2 ) ) )
26	24, 9, 25	mp2an 424	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 2 ) )
27		sin02gt0 11713	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` A ) )
28	26, 27	sylbir 134	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 2 ) -> 0 < ( sin ` A ) )
29	23, 28	syld3an3 1278	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   RRcr 7760   0cc0 7761   x. cmul 7766   RR*cxr 7940   < clt 7941   <_ cle 7942   / cdiv 8576   2c2 8916   4c4 8918   (,]cioc 9833   sincsin 11594   picpi 11597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881  ax-pre-suploc 7882  ax-addf 7883  ax-mulf 7884

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-of 6058  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-map 6624  df-pm 6625  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-7 8929  df-8 8930  df-9 8931  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-xneg 9716  df-xadd 9717  df-ioo 9836  df-ioc 9837  df-ico 9838  df-icc 9839  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647  df-bc 10669  df-ihash 10697  df-shft 10766  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304  df-ef 11598  df-sin 11600  df-cos 11601  df-pi 11603  df-rest 12568  df-topgen 12587  df-psmet 12740  df-xmet 12741  df-met 12742  df-bl 12743  df-mopn 12744  df-top 12749  df-topon 12762  df-bases 12794  df-ntr 12849  df-cn 12941  df-cnp 12942  df-tx 13006  df-cncf 13311  df-limced 13378  df-dvap 13379

This theorem is referenced by:  sincosq1sgn  13500  sinq12gt0  13504