Theorem sincosq1lem 15926

Description: Lemma for sincosq1sgn 15927. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq1lem	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )

Proof of Theorem sincosq1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 15893	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
2		ltle 8413	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ ( pi / 2 ) ) )
3	1, 2	mpan2 429	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ ( pi / 2 ) ) )
4		pire 15887	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
5		4re 9381	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
6		pigt2lt4 15885	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
7	6	simpri 113	. . . . . . . 8 |- pi < 4
8	4, 5, 7	ltleii 8428	. . . . . . 7 |- pi <_ 4
9		2re 9374	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
10		2pos 9395	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
11	9, 10	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
12		ledivmul 9207	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) ) )
13	4, 9, 11, 12	mp3an 1378	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) )
14		2t2e4 9459	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 2 ) = 4
15	14	breq2i 4138	. . . . . . . 8 |- ( pi <_ ( 2 x. 2 ) <-> pi <_ 4 )
16	13, 15	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ 4 )
17	8, 16	mpbir 146	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) <_ 2
18		letr 8408	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( A <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) -> A <_ 2 ) )
19	1, 9, 18	mp3an23 1370	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( A <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) -> A <_ 2 ) )
20	17, 19	mpan2i 435	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A <_ ( pi / 2 ) -> A <_ 2 ) )
21	3, 20	syld 45	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ 2 ) )
22	21	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ 2 ) )
23	22	3impia 1231	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> A <_ 2 )
24		0xr 8372	. . . 4 |- 0 e. RR*
25		elioc2 10338	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 2 ) ) )
26	24, 9, 25	mp2an 430	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 2 ) )
27		sin02gt0 12531	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` A ) )
28	26, 27	sylbir 135	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 2 ) -> 0 < ( sin ` A ) )
29	23, 28	syld3an3 1323	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   x. cmul 8184   RR*cxr 8359   < clt 8360   <_ cle 8361   / cdiv 9002   2c2 9355   4c4 9357   (,]cioc 10291   sincsin 12411   picpi 12414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-ioo 10294  df-ioc 10295  df-ico 10296  df-icc 10297  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215  df-shft 11580  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415  df-sin 12417  df-cos 12418  df-pi 12420  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758

This theorem is used by:  sincosq1sgn  15927  sinq12gt0  15931