Theorem sincosq1lem 15087

Description: Lemma for sincosq1sgn 15088. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq1lem	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )

Proof of Theorem sincosq1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 15054	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
2		ltle 8117	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ ( pi / 2 ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ ( pi / 2 ) ) )
4		pire 15048	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
5		4re 9070	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
6		pigt2lt4 15046	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
7	6	simpri 113	. . . . . . . 8 |- pi < 4
8	4, 5, 7	ltleii 8132	. . . . . . 7 |- pi <_ 4
9		2re 9063	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
10		2pos 9084	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
11	9, 10	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
12		ledivmul 8907	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) ) )
13	4, 9, 11, 12	mp3an 1348	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ ( 2 x. 2 ) )
14		2t2e4 9148	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 2 ) = 4
15	14	breq2i 4042	. . . . . . . 8 |- ( pi <_ ( 2 x. 2 ) <-> pi <_ 4 )
16	13, 15	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) <_ 2 <-> pi <_ 4 )
17	8, 16	mpbir 146	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) <_ 2
18		letr 8112	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( A <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) -> A <_ 2 ) )
19	1, 9, 18	mp3an23 1340	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( A <_ ( pi / 2 ) /\ ( pi / 2 ) <_ 2 ) -> A <_ 2 ) )
20	17, 19	mpan2i 431	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A <_ ( pi / 2 ) -> A <_ 2 ) )
21	3, 20	syld 45	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ 2 ) )
22	21	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( A < ( pi / 2 ) -> A <_ 2 ) )
23	22	3impia 1202	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> A <_ 2 )
24		0xr 8076	. . . 4 |- 0 e. RR*
25		elioc2 10014	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 2 ) ) )
26	24, 9, 25	mp2an 426	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 2 ) )
27		sin02gt0 11932	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` A ) )
28	26, 27	sylbir 135	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 2 ) -> 0 < ( sin ` A ) )
29	23, 28	syld3an3 1294	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   RRcr 7881   0cc0 7882   x. cmul 7887   RR*cxr 8063   < clt 8064   <_ cle 8065   / cdiv 8702   2c2 9044   4c4 9046   (,]cioc 9967   sincsin 11812   picpi 11815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002  ax-pre-suploc 8003  ax-addf 8004  ax-mulf 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-of 6137  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-map 6711  df-pm 6712  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-sup 7052  df-inf 7053  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-7 9057  df-8 9058  df-9 9059  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-xneg 9850  df-xadd 9851  df-ioo 9970  df-ioc 9971  df-ico 9972  df-icc 9973  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-fac 10821  df-bc 10843  df-ihash 10871  df-shft 10983  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522  df-ef 11816  df-sin 11818  df-cos 11819  df-pi 11821  df-rest 12929  df-topgen 12948  df-psmet 14125  df-xmet 14126  df-met 14127  df-bl 14128  df-mopn 14129  df-top 14260  df-topon 14273  df-bases 14305  df-ntr 14358  df-cn 14450  df-cnp 14451  df-tx 14515  df-cncf 14833  df-limced 14918  df-dvap 14919

This theorem is referenced by:  sincosq1sgn  15088  sinq12gt0  15092