Theorem ltleii 8429

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 8428	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   < clt 8360   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  0le1  8810  1le2  9517  1le3  9520  halfge0  9525  decleh  9820  5eluz3  9970  uzuzle23  9971  uzuzle24  9972  uzuzle34  9973  eluz4eluz2  9977  fz0to4untppr  10541  fzo0to42pr  10648  xnn0nnen  10887  4bc2eq6  11227  resqrexlemga  11803  sqrt9  11828  sqrt2gt1lt2  11829  sqrtpclii  11911  0.999...  12304  ef01bndlem  12539  sin01bnd  12540  cos01bnd  12541  cos2bnd  12543  cos12dec  12551  flodddiv4  12719  strleun  13507  dveflem  15876  sinhalfpilem  15942  sincosq1lem  15976  sincos4thpi  15991  sincos6thpi  15993  pigt3  15995  pige3  15996  cosq34lt1  16001  cos02pilt1  16002  cos0pilt1  16003  rpabscxpbnd  16095  2logb9irr  16126  2logb9irrap  16132  log2tlbndlog2  16139  log2ublog2  16143  ppiublem1  16192  ppiqub  16194  bposlem3  16211  bposlem4  16212  bposlem5  16213  lgsdir2lem1  16245  konigsbergiedgwen  16823  konigsberglem1  16827  konigsberglem2  16828  konigsberglem3  16829  ex-fl  16837  ex-gcd  16843