Theorem ltleii 8430

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 8429	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179   < clt 8361   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  0le1  8811  1le2  9518  1le3  9521  halfge0  9526  decleh  9821  5eluz3  9971  uzuzle23  9972  uzuzle24  9973  uzuzle34  9974  eluz4eluz2  9978  fz0to4untppr  10542  fzo0to42pr  10649  xnn0nnen  10889  4bc2eq6  11229  resqrexlemga  11805  sqrt9  11830  sqrt2gt1lt2  11831  sqrtpclii  11913  0.999...  12307  ef01bndlem  12542  sin01bnd  12543  cos01bnd  12544  cos2bnd  12546  cos12dec  12554  flodddiv4  12722  strleun  13511  dveflem  15918  sinhalfpilem  15984  sincosq1lem  16018  sincos4thpi  16033  sincos6thpi  16035  pigt3  16037  pige3  16038  cosq34lt1  16043  cos02pilt1  16044  cos0pilt1  16045  rpabscxpbnd  16137  2logb9irr  16168  2logb9irrap  16174  log2tlbndlog2  16181  log2ublog2  16185  ppiublem1  16252  ppiqub  16254  bposlem3  16274  bposlem4  16275  bposlem5  16276  bposlem7  16278  bposlem8  16279  bposlem9  16280  lgsdir2lem1  16313  konigsbergiedgwen  16891  konigsberglem1  16895  konigsberglem2  16896  konigsberglem3  16897  ex-fl  16905  ex-gcd  16911