Theorem ltleii 7997

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 7996	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ℝcr 7748   < clt 7929   ≤ cle 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-lttrn 7863

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935

This theorem is referenced by:  0le1  8375  1le2  9061  1le3  9064  halfge0  9069  decleh  9352  eluz4eluz2  9501  uzuzle23  9505  fz0to4untppr  10055  fzo0to42pr  10151  4bc2eq6  10683  resqrexlemga  10961  sqrt9  10986  sqrt2gt1lt2  10987  sqrtpclii  11068  0.999...  11458  ef01bndlem  11693  sin01bnd  11694  cos01bnd  11695  cos2bnd  11697  cos12dec  11704  flodddiv4  11867  strleun  12479  dveflem  13287  sinhalfpilem  13312  sincosq1lem  13346  sincos4thpi  13361  sincos6thpi  13363  pigt3  13365  pige3  13366  cosq34lt1  13371  cos02pilt1  13372  cos0pilt1  13373  rpabscxpbnd  13459  2logb9irr  13489  2logb9irrap  13495  lgsdir2lem1  13529  ex-fl  13566  ex-gcd  13572