Theorem ltleii 8435

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 8434	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366   ≤ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  0le1  8816  1le2  9524  1le3  9527  halfge0  9532  decleh  9826  5eluz3  9976  uzuzle23  9977  uzuzle24  9978  uzuzle34  9979  eluz4eluz2  9983  fz0to4untppr  10547  fzo0to42pr  10654  xnn0nnen  10894  4bc2eq6  11234  resqrexlemga  11810  sqrt9  11835  sqrt2gt1lt2  11836  sqrtpclii  11918  0.999...  12312  ef01bndlem  12547  sin01bnd  12548  cos01bnd  12549  cos2bnd  12551  cos12dec  12559  flodddiv4  12727  strleun  13516  dveflem  15969  sinhalfpilem  16035  sincosq1lem  16069  sincos4thpi  16084  sincos6thpi  16086  pigt3  16088  pige3  16089  cosq34lt1  16095  cos02pilt1  16096  cos0pilt1  16097  rpabscxpbnd  16192  2logb9irr  16224  2logb9irrap  16230  log2tlbndlog2  16237  log2ublog2  16241  ppiublem1  16308  ppiqub  16310  bposlem3  16330  bposlem4  16331  bposlem5  16332  bposlem7  16334  bposlem8  16335  bposlem9  16336  lgsdir2lem1  16369  konigsbergiedgwen  16947  konigsberglem1  16951  konigsberglem2  16952  konigsberglem3  16953  ex-fl  16961  ex-gcd  16967