ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltleii GIF version

Theorem ltleii 7873
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
ltleii 𝐴𝐵

Proof of Theorem ltleii
StepHypRef Expression
1 ltlei.1 . 2 𝐴 < 𝐵
2 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
3 lt.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
42, 3ltlei 7872 . 2 (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵)
51, 4ax-mp 5 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1480   class class class wbr 3929  cr 7626   < clt 7807  cle 7808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-lttrn 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813
This theorem is referenced by:  0le1  8250  1le2  8935  1le3  8938  halfge0  8943  decleh  9223  uzuzle23  9373  fzo0to42pr  10004  4bc2eq6  10527  resqrexlemga  10802  sqrt9  10827  sqrt2gt1lt2  10828  sqrtpclii  10909  0.999...  11297  ef01bndlem  11469  sin01bnd  11470  cos01bnd  11471  cos2bnd  11473  cos12dec  11480  flodddiv4  11637  strleun  12057  dveflem  12864  sinhalfpilem  12888  sincosq1lem  12922  sincos4thpi  12937  sincos6thpi  12939  pigt3  12941  pige3  12942  cosq34lt1  12947  cos02pilt1  12948  cos0pilt1  12949  ex-fl  12990  ex-gcd  12996
  Copyright terms: Public domain W3C validator