Theorem ltleii 8325

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 8324	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   < clt 8257   ≤ cle 8258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263

This theorem is referenced by:  0le1  8704  1le2  9395  1le3  9398  halfge0  9403  decleh  9688  5eluz3  9838  uzuzle23  9839  uzuzle24  9840  uzuzle34  9841  eluz4eluz2  9845  fz0to4untppr  10402  fzo0to42pr  10509  xnn0nnen  10743  4bc2eq6  11080  resqrexlemga  11644  sqrt9  11669  sqrt2gt1lt2  11670  sqrtpclii  11751  0.999...  12143  ef01bndlem  12378  sin01bnd  12379  cos01bnd  12380  cos2bnd  12382  cos12dec  12390  flodddiv4  12558  strleun  13248  dveflem  15517  sinhalfpilem  15582  sincosq1lem  15616  sincos4thpi  15631  sincos6thpi  15633  pigt3  15635  pige3  15636  cosq34lt1  15641  cos02pilt1  15642  cos0pilt1  15643  rpabscxpbnd  15731  2logb9irr  15762  2logb9irrap  15768  lgsdir2lem1  15824  konigsbergiedgwen  16402  konigsberglem1  16406  konigsberglem2  16407  konigsberglem3  16408  ex-fl  16416  ex-gcd  16422