Theorem ltleii 8157

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 8156	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7906   < clt 8089   ≤ cle 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4679  df-cnv 4681  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095

This theorem is referenced by:  0le1  8536  1le2  9227  1le3  9230  halfge0  9235  decleh  9520  eluz4eluz2  9670  uzuzle23  9674  fz0to4untppr  10228  fzo0to42pr  10330  xnn0nnen  10563  4bc2eq6  10900  resqrexlemga  11253  sqrt9  11278  sqrt2gt1lt2  11279  sqrtpclii  11360  0.999...  11751  ef01bndlem  11986  sin01bnd  11987  cos01bnd  11988  cos2bnd  11990  cos12dec  11998  flodddiv4  12166  strleun  12855  dveflem  15116  sinhalfpilem  15181  sincosq1lem  15215  sincos4thpi  15230  sincos6thpi  15232  pigt3  15234  pige3  15235  cosq34lt1  15240  cos02pilt1  15241  cos0pilt1  15242  rpabscxpbnd  15330  2logb9irr  15361  2logb9irrap  15367  lgsdir2lem1  15423  ex-fl  15525  ex-gcd  15531