Theorem ltleii 8282

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 8281	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031   < clt 8214   ≤ cle 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220

This theorem is referenced by:  0le1  8661  1le2  9352  1le3  9355  halfge0  9360  decleh  9645  5eluz3  9795  uzuzle23  9796  uzuzle24  9797  uzuzle34  9798  eluz4eluz2  9802  fz0to4untppr  10359  fzo0to42pr  10466  xnn0nnen  10700  4bc2eq6  11037  resqrexlemga  11588  sqrt9  11613  sqrt2gt1lt2  11614  sqrtpclii  11695  0.999...  12087  ef01bndlem  12322  sin01bnd  12323  cos01bnd  12324  cos2bnd  12326  cos12dec  12334  flodddiv4  12502  strleun  13192  dveflem  15456  sinhalfpilem  15521  sincosq1lem  15555  sincos4thpi  15570  sincos6thpi  15572  pigt3  15574  pige3  15575  cosq34lt1  15580  cos02pilt1  15581  cos0pilt1  15582  rpabscxpbnd  15670  2logb9irr  15701  2logb9irrap  15707  lgsdir2lem1  15763  ex-fl  16343  ex-gcd  16349