Theorem ltleii 8435

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 8434	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366   ≤ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  0le1  8816  1le2  9524  1le3  9527  halfge0  9532  decleh  9827  5eluz3  9977  uzuzle23  9978  uzuzle24  9979  uzuzle34  9980  eluz4eluz2  9984  fz0to4untppr  10548  fzo0to42pr  10655  xnn0nnen  10895  4bc2eq6  11235  resqrexlemga  11811  sqrt9  11836  sqrt2gt1lt2  11837  sqrtpclii  11919  0.999...  12313  ef01bndlem  12548  sin01bnd  12549  cos01bnd  12550  cos2bnd  12552  cos12dec  12560  flodddiv4  12728  strleun  13517  dveflem  15952  sinhalfpilem  16018  sincosq1lem  16052  sincos4thpi  16067  sincos6thpi  16069  pigt3  16071  pige3  16072  cosq34lt1  16078  cos02pilt1  16079  cos0pilt1  16080  rpabscxpbnd  16175  2logb9irr  16207  2logb9irrap  16213  log2tlbndlog2  16220  log2ublog2  16224  ppiublem1  16291  ppiqub  16293  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem7  16317  bposlem8  16318  bposlem9  16319  lgsdir2lem1  16352  konigsbergiedgwen  16930  konigsberglem1  16934  konigsberglem2  16935  konigsberglem3  16936  ex-fl  16944  ex-gcd  16950