Theorem ltleii 8122

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 8121	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝcr 7871   < clt 8054   ≤ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  0le1  8500  1le2  9190  1le3  9193  halfge0  9198  decleh  9482  eluz4eluz2  9632  uzuzle23  9636  fz0to4untppr  10190  fzo0to42pr  10287  xnn0nnen  10508  4bc2eq6  10845  resqrexlemga  11167  sqrt9  11192  sqrt2gt1lt2  11193  sqrtpclii  11274  0.999...  11664  ef01bndlem  11899  sin01bnd  11900  cos01bnd  11901  cos2bnd  11903  cos12dec  11911  flodddiv4  12075  strleun  12722  cnfldstr  14049  dveflem  14872  sinhalfpilem  14926  sincosq1lem  14960  sincos4thpi  14975  sincos6thpi  14977  pigt3  14979  pige3  14980  cosq34lt1  14985  cos02pilt1  14986  cos0pilt1  14987  rpabscxpbnd  15073  2logb9irr  15103  2logb9irrap  15109  lgsdir2lem1  15144  ex-fl  15217  ex-gcd  15223