Theorem dividapd 8969

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
reccld.2	|- ( ph -> A # 0 )

Assertion

Ref	Expression
dividapd	|- ( ph -> ( A / A ) = 1 )

Proof of Theorem dividapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		reccld.2	. 2 |- ( ph -> A # 0 )
3		dividap 8884	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( A / A ) = 1 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A / A ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6021   CCcc 8033   0cc0 8035   1c1 8036   # cap 8764   / cdiv 8855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856

This theorem is referenced by:  nndivtr  9188  divge1  9961  intfracq  10586  flqdiv  10587  modqlt  10599  modqid0  10616  bcn0  11021  resqrexlemcalc2  11596  georeclim  12095  efaddlem  12256  sqgcd  12621  prmind2  12713  divgcdodd  12736  divnumden  12789  hashgcdlem  12831  pythagtriplem19  12876  pc2dvds  12924  fldivp1  12942  dveflem  15477  rplogbid1  15698