Theorem modqid0 10299

Description: A positive real number modulo itself is 0. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid0	⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 mod 𝑁) = 0)

Proof of Theorem modqid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9577	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	recnd 7941	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
5	2, 4	gt0ap0d 8541	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 # 0)
6	3, 5	dividapd 8696	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
7		1z 9231	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
8	6, 7	eqeltrdi 2261	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 / 𝑁) ∈ ℤ)
9		modq0 10278	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑁) ∈ ℤ))
10	9	3anidm12 1290	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑁) ∈ ℤ))
11	8, 10	mpbird 166	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 mod 𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851  ℝcr 7766  0cc0 7767  1c1 7768   < clt 7947   / cdiv 8582  ℤcz 9205  ℚcq 9571   mod cmo 10271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-q 9572  df-rp 9604  df-fl 10219  df-mod 10272

This theorem is referenced by:  modqm1p1mod0  10324  modqeqmodmin  10343