Theorem modqid0 10534

Description: A positive real number modulo itself is 0. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid0	⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 mod 𝑁) = 0)

Proof of Theorem modqid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9783	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
5	2, 4	gt0ap0d 8739	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 # 0)
6	3, 5	dividapd 8896	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
7		1z 9435	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
8	6, 7	eqeltrdi 2298	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 / 𝑁) ∈ ℤ)
9		modq0 10513	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑁) ∈ ℤ))
10	9	3anidm12 1308	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑁) ∈ ℤ))
11	8, 10	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 mod 𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4060  (class class class)co 5969  ℝcr 7961  0cc0 7962  1c1 7963   < clt 8144   / cdiv 8782  ℤcz 9409  ℚcq 9777   mod cmo 10506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080  ax-arch 8081

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-n0 9333  df-z 9410  df-q 9778  df-rp 9813  df-fl 10452  df-mod 10507

This theorem is referenced by:  modqm1p1mod0  10559  modqeqmodmin  10578