ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomsrg Unicode version

Theorem mulcomsrg 7206
Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsrg  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  =  ( B  .R  A ) )

Proof of Theorem mulcomsrg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7176 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 mulsrpr 7195 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) ) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
) >. ]  ~R  )
3 mulsrpr 7195 . 2  |-  ( ( ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~R  .R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( z  .P.  x
)  +P.  ( w  .P.  y ) ) ,  ( ( z  .P.  y )  +P.  (
w  .P.  x )
) >. ]  ~R  )
4 mulcomprg 7042 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  .P.  z
)  =  ( z  .P.  x ) )
54ad2ant2r 493 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( x  .P.  z )  =  ( z  .P.  x ) )
6 mulcomprg 7042 . . . 4  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  .P.  w
)  =  ( w  .P.  y ) )
76ad2ant2l 492 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( y  .P.  w )  =  ( w  .P.  y ) )
85, 7oveq12d 5609 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  z )  +P.  ( y  .P.  w
) )  =  ( ( z  .P.  x
)  +P.  ( w  .P.  y ) ) )
9 mulcomprg 7042 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( x  .P.  w
)  =  ( w  .P.  x ) )
109ad2ant2rl 495 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( x  .P.  w )  =  ( w  .P.  x ) )
11 mulcomprg 7042 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  .P.  z
)  =  ( z  .P.  y ) )
1211ad2ant2lr 494 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( y  .P.  z )  =  ( z  .P.  y ) )
1310, 12oveq12d 5609 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  =  ( ( w  .P.  x
)  +P.  ( z  .P.  y ) ) )
14 mulclpr 7034 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( w  .P.  x
)  e.  P. )
1514ancoms 264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( w  .P.  x
)  e.  P. )
1615ad2ant2rl 495 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( w  .P.  x )  e.  P. )
17 mulclpr 7034 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( z  .P.  y
)  e.  P. )
1817ancoms 264 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( z  .P.  y
)  e.  P. )
1918ad2ant2lr 494 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( z  .P.  y )  e.  P. )
20 addcomprg 7040 . . . 4  |-  ( ( ( w  .P.  x
)  e.  P.  /\  ( z  .P.  y
)  e.  P. )  ->  ( ( w  .P.  x )  +P.  (
z  .P.  y )
)  =  ( ( z  .P.  y )  +P.  ( w  .P.  x ) ) )
2116, 19, 20syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
w  .P.  x )  +P.  ( z  .P.  y
) )  =  ( ( z  .P.  y
)  +P.  ( w  .P.  x ) ) )
2213, 21eqtrd 2115 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  =  ( ( z  .P.  y
)  +P.  ( w  .P.  x ) ) )
231, 2, 3, 8, 22ecovicom 6330 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  =  ( B  .R  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434  (class class class)co 5591   P.cnp 6753    +P. cpp 6755    .P. cmp 6756    ~R cer 6758   R.cnr 6759    .R cmr 6764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-2o 6114  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-lti 6769  df-plpq 6806  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-plqqs 6811  df-mqqs 6812  df-1nqqs 6813  df-rq 6814  df-ltnqqs 6815  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-0nq0 6888  df-plq0 6889  df-mq0 6890  df-inp 6928  df-iplp 6930  df-imp 6931  df-enr 7175  df-nr 7176  df-mr 7178
This theorem is referenced by:  mulresr  7278  axmulcom  7309  axmulass  7311  axcnre  7319
  Copyright terms: Public domain W3C validator