ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomsrg Unicode version

Theorem mulcomsrg 7679
Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsrg  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  =  ( B  .R  A ) )

Proof of Theorem mulcomsrg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7649 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 mulsrpr 7668 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) ) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
) >. ]  ~R  )
3 mulsrpr 7668 . 2  |-  ( ( ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~R  .R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( z  .P.  x
)  +P.  ( w  .P.  y ) ) ,  ( ( z  .P.  y )  +P.  (
w  .P.  x )
) >. ]  ~R  )
4 mulcomprg 7502 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  .P.  z
)  =  ( z  .P.  x ) )
54ad2ant2r 501 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( x  .P.  z )  =  ( z  .P.  x ) )
6 mulcomprg 7502 . . . 4  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  .P.  w
)  =  ( w  .P.  y ) )
76ad2ant2l 500 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( y  .P.  w )  =  ( w  .P.  y ) )
85, 7oveq12d 5844 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  z )  +P.  ( y  .P.  w
) )  =  ( ( z  .P.  x
)  +P.  ( w  .P.  y ) ) )
9 mulcomprg 7502 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( x  .P.  w
)  =  ( w  .P.  x ) )
109ad2ant2rl 503 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( x  .P.  w )  =  ( w  .P.  x ) )
11 mulcomprg 7502 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  .P.  z
)  =  ( z  .P.  y ) )
1211ad2ant2lr 502 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( y  .P.  z )  =  ( z  .P.  y ) )
1310, 12oveq12d 5844 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  =  ( ( w  .P.  x
)  +P.  ( z  .P.  y ) ) )
14 mulclpr 7494 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( w  .P.  x
)  e.  P. )
1514ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( w  .P.  x
)  e.  P. )
1615ad2ant2rl 503 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( w  .P.  x )  e.  P. )
17 mulclpr 7494 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( z  .P.  y
)  e.  P. )
1817ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( z  .P.  y
)  e.  P. )
1918ad2ant2lr 502 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( z  .P.  y )  e.  P. )
20 addcomprg 7500 . . . 4  |-  ( ( ( w  .P.  x
)  e.  P.  /\  ( z  .P.  y
)  e.  P. )  ->  ( ( w  .P.  x )  +P.  (
z  .P.  y )
)  =  ( ( z  .P.  y )  +P.  ( w  .P.  x ) ) )
2116, 19, 20syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
w  .P.  x )  +P.  ( z  .P.  y
) )  =  ( ( z  .P.  y
)  +P.  ( w  .P.  x ) ) )
2213, 21eqtrd 2190 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  =  ( ( z  .P.  y
)  +P.  ( w  .P.  x ) ) )
231, 2, 3, 8, 22ecovicom 6590 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  =  ( B  .R  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128  (class class class)co 5826   P.cnp 7213    +P. cpp 7215    .P. cmp 7216    ~R cer 7218   R.cnr 7219    .R cmr 7224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-eprel 4251  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6482  df-ec 6484  df-qs 6488  df-ni 7226  df-pli 7227  df-mi 7228  df-lti 7229  df-plpq 7266  df-mpq 7267  df-enq 7269  df-nqqs 7270  df-plqqs 7271  df-mqqs 7272  df-1nqqs 7273  df-rq 7274  df-ltnqqs 7275  df-enq0 7346  df-nq0 7347  df-0nq0 7348  df-plq0 7349  df-mq0 7350  df-inp 7388  df-iplp 7390  df-imp 7391  df-enr 7648  df-nr 7649  df-mr 7651
This theorem is referenced by:  mulresr  7760  axmulcom  7793  axmulass  7795  axcnre  7803
  Copyright terms: Public domain W3C validator