ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomsrg GIF version

Theorem mulcomsrg 7224
Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsrg ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))

Proof of Theorem mulcomsrg
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7194 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 7213 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3 mulsrpr 7213 . 2 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑥P𝑦P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4 mulcomprg 7060 . . . 4 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
54ad2ant2r 493 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
6 mulcomprg 7060 . . . 4 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
76ad2ant2l 492 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
85, 7oveq12d 5612 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)))
9 mulcomprg 7060 . . . . 5 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
109ad2ant2rl 495 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
11 mulcomprg 7060 . . . . 5 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
1211ad2ant2lr 494 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
1310, 12oveq12d 5612 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)))
14 mulclpr 7052 . . . . . 6 ((𝑤P𝑥P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
1514ancoms 264 . . . . 5 ((𝑥P𝑤P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
1615ad2ant2rl 495 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
17 mulclpr 7052 . . . . . 6 ((𝑧P𝑦P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
1817ancoms 264 . . . . 5 ((𝑦P𝑧P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
1918ad2ant2lr 494 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
20 addcomprg 7058 . . . 4 (((𝑤 ·P 𝑥) ∈ P ∧ (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
2116, 19, 20syl2anc 403 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
2213, 21eqtrd 2117 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
231, 2, 3, 8, 22ecovicom 6333 1 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  (class class class)co 5594  Pcnp 6771   +P cpp 6773   ·P cmp 6774   ~R cer 6776  Rcnr 6777   ·R cmr 6782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-eprel 4083  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-1o 6116  df-2o 6117  df-oadd 6120  df-omul 6121  df-er 6225  df-ec 6227  df-qs 6231  df-ni 6784  df-pli 6785  df-mi 6786  df-lti 6787  df-plpq 6824  df-mpq 6825  df-enq 6827  df-nqqs 6828  df-plqqs 6829  df-mqqs 6830  df-1nqqs 6831  df-rq 6832  df-ltnqqs 6833  df-enq0 6904  df-nq0 6905  df-0nq0 6906  df-plq0 6907  df-mq0 6908  df-inp 6946  df-iplp 6948  df-imp 6949  df-enr 7193  df-nr 7194  df-mr 7196
This theorem is referenced by:  mulresr  7296  axmulcom  7327  axmulass  7329  axcnre  7337
  Copyright terms: Public domain W3C validator