ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomsrg GIF version

Theorem mulcomsrg 7787
Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsrg ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))

Proof of Theorem mulcomsrg
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7757 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 7776 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3 mulsrpr 7776 . 2 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑥P𝑦P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4 mulcomprg 7610 . . . 4 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
54ad2ant2r 509 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
6 mulcomprg 7610 . . . 4 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
76ad2ant2l 508 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
85, 7oveq12d 5915 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)))
9 mulcomprg 7610 . . . . 5 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
109ad2ant2rl 511 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
11 mulcomprg 7610 . . . . 5 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
1211ad2ant2lr 510 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
1310, 12oveq12d 5915 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)))
14 mulclpr 7602 . . . . . 6 ((𝑤P𝑥P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
1514ancoms 268 . . . . 5 ((𝑥P𝑤P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
1615ad2ant2rl 511 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
17 mulclpr 7602 . . . . . 6 ((𝑧P𝑦P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
1817ancoms 268 . . . . 5 ((𝑦P𝑧P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
1918ad2ant2lr 510 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
20 addcomprg 7608 . . . 4 (((𝑤 ·P 𝑥) ∈ P ∧ (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
2116, 19, 20syl2anc 411 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
2213, 21eqtrd 2222 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
231, 2, 3, 8, 22ecovicom 6670 1 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  (class class class)co 5897  Pcnp 7321   +P cpp 7323   ·P cmp 7324   ~R cer 7326  Rcnr 7327   ·R cmr 7332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-rq 7382  df-ltnqqs 7383  df-enq0 7454  df-nq0 7455  df-0nq0 7456  df-plq0 7457  df-mq0 7458  df-inp 7496  df-iplp 7498  df-imp 7499  df-enr 7756  df-nr 7757  df-mr 7759
This theorem is referenced by:  mulresr  7868  axmulcom  7901  axmulass  7903  axcnre  7911
  Copyright terms: Public domain W3C validator