Theorem mulcomsrg 7970

Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomsrg	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))

Proof of Theorem mulcomsrg

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7940	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		mulsrpr 7959	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3		mulsrpr 7959	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4		mulcomprg 7793	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
5	4	ad2ant2r 509	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
6		mulcomprg 7793	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
7	6	ad2ant2l 508	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
8	5, 7	oveq12d 6031	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)))
9		mulcomprg 7793	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
10	9	ad2ant2rl 511	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
11		mulcomprg 7793	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
12	11	ad2ant2lr 510	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
13	10, 12	oveq12d 6031	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)))
14		mulclpr 7785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
15	14	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
16	15	ad2ant2rl 511	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
17		mulclpr 7785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
18	17	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
19	18	ad2ant2lr 510	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
20		addcomprg 7791	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ·P 𝑥) ∈ P ∧ (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
21	16, 19, 20	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
22	13, 21	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
23	1, 2, 3, 8, 22	ecovicom 6807	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  Pcnp 7504   +_P cpp 7506   ·_P cmp 7507   ~_R cer 7509  Rcnr 7510   ·_R cmr 7515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7517  df-pli 7518  df-mi 7519  df-lti 7520  df-plpq 7557  df-mpq 7558  df-enq 7560  df-nqqs 7561  df-plqqs 7562  df-mqqs 7563  df-1nqqs 7564  df-rq 7565  df-ltnqqs 7566  df-enq0 7637  df-nq0 7638  df-0nq0 7639  df-plq0 7640  df-mq0 7641  df-inp 7679  df-iplp 7681  df-imp 7682  df-enr 7939  df-nr 7940  df-mr 7942

This theorem is referenced by:  mulresr  8051  axmulcom  8084  axmulass  8086  axcnre  8094