ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulresr Unicode version

Theorem mulresr 7759
Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulresr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 7671 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 mulcnsr 7756 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( B  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
32an4s 578 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
41, 1, 3mpanr12 436 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. (
( A  .R  B
)  +R  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>. )
5 00sr 7690 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
76oveq2i 5836 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
8 m1r 7673 . . . . . . 7  |-  -1R  e.  R.
9 00sr 7690 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
117, 10eqtri 2178 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  0R
1211oveq2i 5836 . . . 4  |-  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( ( A  .R  B
)  +R  0R )
13 mulclsr 7675 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  R. )
14 0idsr 7688 . . . . 5  |-  ( ( A  .R  B )  e.  R.  ->  (
( A  .R  B
)  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1513, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1612, 15syl5eq 2202 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( A  .R  B
) )
17 mulcomsrg 7678 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( 0R  .R  B
)  =  ( B  .R  0R ) )
181, 17mpan 421 . . . . . 6  |-  ( B  e.  R.  ->  ( 0R  .R  B )  =  ( B  .R  0R ) )
19 00sr 7690 . . . . . 6  |-  ( B  e.  R.  ->  ( B  .R  0R )  =  0R )
2018, 19eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( B  e.  R.  ->  ( 0R  .R  B )  =  0R )
21 00sr 7690 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
2220, 21oveqan12rd 5845 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  ( 0R  +R  0R ) )
23 0idsr 7688 . . . . 5  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
241, 23ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2522, 24eqtrdi 2206 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  0R )
2616, 25opeq12d 3750 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  -> 
<. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>.  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
274, 26eqtrd 2190 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   <.cop 3563  (class class class)co 5825   R.cnr 7218   0Rc0r 7219   -1Rcm1r 7221    +R cplr 7222    .R cmr 7223    x. cmul 7738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-eprel 4250  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-1o 6364  df-2o 6365  df-oadd 6368  df-omul 6369  df-er 6481  df-ec 6483  df-qs 6487  df-ni 7225  df-pli 7226  df-mi 7227  df-lti 7228  df-plpq 7265  df-mpq 7266  df-enq 7268  df-nqqs 7269  df-plqqs 7270  df-mqqs 7271  df-1nqqs 7272  df-rq 7273  df-ltnqqs 7274  df-enq0 7345  df-nq0 7346  df-0nq0 7347  df-plq0 7348  df-mq0 7349  df-inp 7387  df-i1p 7388  df-iplp 7389  df-imp 7390  df-enr 7647  df-nr 7648  df-plr 7649  df-mr 7650  df-0r 7652  df-m1r 7654  df-c 7739  df-mul 7745
This theorem is referenced by:  recidpirq  7779  axmulrcl  7788  ax1rid  7798  axprecex  7801  axpre-mulgt0  7808  axpre-mulext  7809
  Copyright terms: Public domain W3C validator