ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulresr Unicode version

Theorem mulresr 7373
Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulresr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 7294 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 mulcnsr 7370 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( B  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
32an4s 555 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
41, 1, 3mpanr12 430 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. (
( A  .R  B
)  +R  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>. )
5 00sr 7313 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
76oveq2i 5663 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
8 m1r 7296 . . . . . . 7  |-  -1R  e.  R.
9 00sr 7313 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
108, 9ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
117, 10eqtri 2108 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  0R
1211oveq2i 5663 . . . 4  |-  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( ( A  .R  B
)  +R  0R )
13 mulclsr 7298 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  R. )
14 0idsr 7311 . . . . 5  |-  ( ( A  .R  B )  e.  R.  ->  (
( A  .R  B
)  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1513, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1612, 15syl5eq 2132 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( A  .R  B
) )
17 mulcomsrg 7301 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( 0R  .R  B
)  =  ( B  .R  0R ) )
181, 17mpan 415 . . . . . 6  |-  ( B  e.  R.  ->  ( 0R  .R  B )  =  ( B  .R  0R ) )
19 00sr 7313 . . . . . 6  |-  ( B  e.  R.  ->  ( B  .R  0R )  =  0R )
2018, 19eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( B  e.  R.  ->  ( 0R  .R  B )  =  0R )
21 00sr 7313 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
2220, 21oveqan12rd 5672 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  ( 0R  +R  0R ) )
23 0idsr 7311 . . . . 5  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
241, 23ax-mp 7 . . . 4  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2522, 24syl6eq 2136 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  0R )
2616, 25opeq12d 3630 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  -> 
<. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>.  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
274, 26eqtrd 2120 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449  (class class class)co 5652   R.cnr 6854   0Rc0r 6855   -1Rcm1r 6857    +R cplr 6858    .R cmr 6859    x. cmul 7353
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6290  df-ec 6292  df-qs 6296  df-ni 6861  df-pli 6862  df-mi 6863  df-lti 6864  df-plpq 6901  df-mpq 6902  df-enq 6904  df-nqqs 6905  df-plqqs 6906  df-mqqs 6907  df-1nqqs 6908  df-rq 6909  df-ltnqqs 6910  df-enq0 6981  df-nq0 6982  df-0nq0 6983  df-plq0 6984  df-mq0 6985  df-inp 7023  df-i1p 7024  df-iplp 7025  df-imp 7026  df-enr 7270  df-nr 7271  df-plr 7272  df-mr 7273  df-0r 7275  df-m1r 7277  df-c 7354  df-mul 7360
This theorem is referenced by:  recidpirq  7393  axmulrcl  7402  ax1rid  7410  axprecex  7413  axpre-mulgt0  7420  axpre-mulext  7421
  Copyright terms: Public domain W3C validator