Theorem mulresr 7839

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulresr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( A .R B ) , 0R >. )

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7751	. . 3 |- 0R e. R.
2		mulcnsr 7836	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( B e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
3	2	an4s 588	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
4	1, 1, 3	mpanr12 439	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
5		00sr 7770	. . . . . . . 8 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
7	6	oveq2i 5888	. . . . . 6 |- ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) = ( -1R .R 0R )
8		m1r 7753	. . . . . . 7 |- -1R e. R.
9		00sr 7770	. . . . . . 7 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R ) = 0R )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( -1R .R 0R ) = 0R
11	7, 10	eqtri 2198	. . . . 5 |- ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) = 0R
12	11	oveq2i 5888	. . . 4 |- ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) = ( ( A .R B ) +R 0R )
13		mulclsr 7755	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )
14		0idsr 7768	. . . . 5 |- ( ( A .R B ) e. R. -> ( ( A .R B ) +R 0R ) = ( A .R B ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( A .R B ) +R 0R ) = ( A .R B ) )
16	12, 15	eqtrid 2222	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) = ( A .R B ) )
17		mulcomsrg 7758	. . . . . . 7 |- ( ( 0R e. R. /\ B e. R. ) -> ( 0R .R B ) = ( B .R 0R ) )
18	1, 17	mpan 424	. . . . . 6 |- ( B e. R. -> ( 0R .R B ) = ( B .R 0R ) )
19		00sr 7770	. . . . . 6 |- ( B e. R. -> ( B .R 0R ) = 0R )
20	18, 19	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( B e. R. -> ( 0R .R B ) = 0R )
21		00sr 7770	. . . . 5 |- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = 0R )
22	20, 21	oveqan12rd 5897	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) = ( 0R +R 0R ) )
23		0idsr 7768	. . . . 5 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
24	1, 23	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
25	22, 24	eqtrdi 2226	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) = 0R )
26	16, 25	opeq12d 3788	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. = <. ( A .R B ) , 0R >. )
27	4, 26	eqtrd 2210	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( A .R B ) , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3597  (class class class)co 5877   R.cnr 7298   0Rc0r 7299   -1Rcm1r 7301   +R cplr 7302   .R cmr 7303   x. cmul 7818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-imp 7470  df-enr 7727  df-nr 7728  df-plr 7729  df-mr 7730  df-0r 7732  df-m1r 7734  df-c 7819  df-mul 7825

This theorem is referenced by:  recidpirq  7859  axmulrcl  7868  ax1rid  7878  axprecex  7881  axpre-mulgt0  7888  axpre-mulext  7889