Theorem mulresr 7951

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulresr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( A .R B ) , 0R >. )

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7863	. . 3 |- 0R e. R.
2		mulcnsr 7948	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( B e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
3	2	an4s 588	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
4	1, 1, 3	mpanr12 439	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
5		00sr 7882	. . . . . . . 8 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
7	6	oveq2i 5955	. . . . . 6 |- ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) = ( -1R .R 0R )
8		m1r 7865	. . . . . . 7 |- -1R e. R.
9		00sr 7882	. . . . . . 7 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R ) = 0R )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( -1R .R 0R ) = 0R
11	7, 10	eqtri 2226	. . . . 5 |- ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) = 0R
12	11	oveq2i 5955	. . . 4 |- ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) = ( ( A .R B ) +R 0R )
13		mulclsr 7867	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )
14		0idsr 7880	. . . . 5 |- ( ( A .R B ) e. R. -> ( ( A .R B ) +R 0R ) = ( A .R B ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( A .R B ) +R 0R ) = ( A .R B ) )
16	12, 15	eqtrid 2250	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) = ( A .R B ) )
17		mulcomsrg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( 0R e. R. /\ B e. R. ) -> ( 0R .R B ) = ( B .R 0R ) )
18	1, 17	mpan 424	. . . . . 6 |- ( B e. R. -> ( 0R .R B ) = ( B .R 0R ) )
19		00sr 7882	. . . . . 6 |- ( B e. R. -> ( B .R 0R ) = 0R )
20	18, 19	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( B e. R. -> ( 0R .R B ) = 0R )
21		00sr 7882	. . . . 5 |- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = 0R )
22	20, 21	oveqan12rd 5964	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) = ( 0R +R 0R ) )
23		0idsr 7880	. . . . 5 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
24	1, 23	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
25	22, 24	eqtrdi 2254	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) = 0R )
26	16, 25	opeq12d 3827	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. = <. ( A .R B ) , 0R >. )
27	4, 26	eqtrd 2238	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( A .R B ) , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636  (class class class)co 5944   R.cnr 7410   0Rc0r 7411   -1Rcm1r 7413   +R cplr 7414   .R cmr 7415   x. cmul 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-2o 6503  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-lti 7420  df-plpq 7457  df-mpq 7458  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-mqqs 7463  df-1nqqs 7464  df-rq 7465  df-ltnqqs 7466  df-enq0 7537  df-nq0 7538  df-0nq0 7539  df-plq0 7540  df-mq0 7541  df-inp 7579  df-i1p 7580  df-iplp 7581  df-imp 7582  df-enr 7839  df-nr 7840  df-plr 7841  df-mr 7842  df-0r 7844  df-m1r 7846  df-c 7931  df-mul 7937

This theorem is referenced by:  recidpirq  7971  axmulrcl  7980  ax1rid  7990  axprecex  7993  axpre-mulgt0  8000  axpre-mulext  8001