Theorem mulresr 7779

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulresr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( A .R B ) , 0R >. )

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7691	. . 3 |- 0R e. R.
2		mulcnsr 7776	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R e. R. ) /\ ( B e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
3	2	an4s 578	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 0R e. R. ) ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
4	1, 1, 3	mpanr12 436	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. )
5		00sr 7710	. . . . . . . 8 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
7	6	oveq2i 5853	. . . . . 6 |- ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) = ( -1R .R 0R )
8		m1r 7693	. . . . . . 7 |- -1R e. R.
9		00sr 7710	. . . . . . 7 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 0R ) = 0R )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( -1R .R 0R ) = 0R
11	7, 10	eqtri 2186	. . . . 5 |- ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) = 0R
12	11	oveq2i 5853	. . . 4 |- ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) = ( ( A .R B ) +R 0R )
13		mulclsr 7695	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )
14		0idsr 7708	. . . . 5 |- ( ( A .R B ) e. R. -> ( ( A .R B ) +R 0R ) = ( A .R B ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( A .R B ) +R 0R ) = ( A .R B ) )
16	12, 15	syl5eq 2211	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) = ( A .R B ) )
17		mulcomsrg 7698	. . . . . . 7 |- ( ( 0R e. R. /\ B e. R. ) -> ( 0R .R B ) = ( B .R 0R ) )
18	1, 17	mpan 421	. . . . . 6 |- ( B e. R. -> ( 0R .R B ) = ( B .R 0R ) )
19		00sr 7710	. . . . . 6 |- ( B e. R. -> ( B .R 0R ) = 0R )
20	18, 19	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( B e. R. -> ( 0R .R B ) = 0R )
21		00sr 7710	. . . . 5 |- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = 0R )
22	20, 21	oveqan12rd 5862	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) = ( 0R +R 0R ) )
23		0idsr 7708	. . . . 5 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
24	1, 23	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
25	22, 24	eqtrdi 2215	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) = 0R )
26	16, 25	opeq12d 3766	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. ( ( A .R B ) +R ( -1R .R ( 0R .R 0R ) ) ) , ( ( 0R .R B ) +R ( A .R 0R ) ) >. = <. ( A .R B ) , 0R >. )
27	4, 26	eqtrd 2198	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. x. <. B , 0R >. ) = <. ( A .R B ) , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579  (class class class)co 5842   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   -1Rcm1r 7241   +R cplr 7242   .R cmr 7243   x. cmul 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-0r 7672  df-m1r 7674  df-c 7759  df-mul 7765

This theorem is referenced by:  recidpirq  7799  axmulrcl  7808  ax1rid  7818  axprecex  7821  axpre-mulgt0  7828  axpre-mulext  7829