ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulresr Unicode version

Theorem mulresr 7614
Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulresr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 7526 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 mulcnsr 7611 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( B  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
32an4s 562 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) ) >. )
41, 1, 3mpanr12 435 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. (
( A  .R  B
)  +R  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>. )
5 00sr 7545 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
76oveq2i 5753 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
8 m1r 7528 . . . . . . 7  |-  -1R  e.  R.
9 00sr 7545 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
117, 10eqtri 2138 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( 0R  .R  0R ) )  =  0R
1211oveq2i 5753 . . . 4  |-  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( ( A  .R  B
)  +R  0R )
13 mulclsr 7530 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  R. )
14 0idsr 7543 . . . . 5  |-  ( ( A  .R  B )  e.  R.  ->  (
( A  .R  B
)  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1513, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  0R )  =  ( A  .R  B ) )
1612, 15syl5eq 2162 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) )  =  ( A  .R  B
) )
17 mulcomsrg 7533 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( 0R  .R  B
)  =  ( B  .R  0R ) )
181, 17mpan 420 . . . . . 6  |-  ( B  e.  R.  ->  ( 0R  .R  B )  =  ( B  .R  0R ) )
19 00sr 7545 . . . . . 6  |-  ( B  e.  R.  ->  ( B  .R  0R )  =  0R )
2018, 19eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( B  e.  R.  ->  ( 0R  .R  B )  =  0R )
21 00sr 7545 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
2220, 21oveqan12rd 5762 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  ( 0R  +R  0R ) )
23 0idsr 7543 . . . . 5  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
241, 23ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2522, 24syl6eq 2166 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )  =  0R )
2616, 25opeq12d 3683 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  -> 
<. ( ( A  .R  B )  +R  ( -1R  .R  ( 0R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 0R  .R  B )  +R  ( A  .R  0R ) )
>.  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
274, 26eqtrd 2150 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >.  x.  <. B ,  0R >. )  =  <. ( A  .R  B ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   <.cop 3500  (class class class)co 5742   R.cnr 7073   0Rc0r 7074   -1Rcm1r 7076    +R cplr 7077    .R cmr 7078    x. cmul 7593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-0nq0 7202  df-plq0 7203  df-mq0 7204  df-inp 7242  df-i1p 7243  df-iplp 7244  df-imp 7245  df-enr 7502  df-nr 7503  df-plr 7504  df-mr 7505  df-0r 7507  df-m1r 7509  df-c 7594  df-mul 7600
This theorem is referenced by:  recidpirq  7634  axmulrcl  7643  ax1rid  7653  axprecex  7656  axpre-mulgt0  7663  axpre-mulext  7664
  Copyright terms: Public domain W3C validator