Theorem mulgnn0subcl 13208

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnnsubcl.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnnsubcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
mulgnnsubcl.g	|- ( ph -> G e. V )
mulgnnsubcl.s	|- ( ph -> S C_ B )
mulgnnsubcl.c	|- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
mulgnn0subcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
mulgnn0subcl.c	|- ( ph -> .0. e. S )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0subcl	|- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, B, y   x, G, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y   x, .x.   x, X, y

Allowed substitution hints:   .x. ( y)   V( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem mulgnn0subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnnsubcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnnsubcl.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
3		mulgnnsubcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
4		mulgnnsubcl.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. V )
5		mulgnnsubcl.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ B )
6		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mulgnnsubcl 13207	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )
8	7	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN ) /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )
9	8	an32s 568	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. S ) /\ N e. NN ) -> ( N .x. X ) e. S )
10	9	3adantl2 1156	. 2 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N e. NN ) -> ( N .x. X ) e. S )
11		oveq1 5926	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( N .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
12	5	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> S C_ B )
13		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> X e. S )
14	12, 13	sseldd 3181	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> X e. B )
15		mulgnn0subcl.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
16	1, 15, 2	mulg0 13198	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )
17	14, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( 0 .x. X ) = .0. )
18	11, 17	sylan9eqr 2248	. . 3 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) = .0. )
19		mulgnn0subcl.c	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. S )
20	19	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> .0. e. S )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N = 0 ) -> .0. e. S )
22	18, 21	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) e. S )
23		simp2 1000	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> N e. NN0 )
24		elnn0 9245	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
25	23, 24	sylib 122	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
26	10, 22, 25	mpjaodan 799	1 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   0cc0 7874   NNcn 8984   NN0cn0 9243   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870  ._gcmg 13192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-minusg 13079  df-mulg 13193

This theorem is referenced by:  mulgsubcl  13209  mulgnn0cl  13211  submmulgcl  13238