Theorem mulgnn0subcl 13027

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnnsubcl.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnnsubcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
mulgnnsubcl.g	|- ( ph -> G e. V )
mulgnnsubcl.s	|- ( ph -> S C_ B )
mulgnnsubcl.c	|- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
mulgnn0subcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
mulgnn0subcl.c	|- ( ph -> .0. e. S )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0subcl	|- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, B, y   x, G, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y   x, .x.   x, X, y

Allowed substitution hints:   .x. ( y)   V( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem mulgnn0subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnnsubcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		mulgnnsubcl.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
3		mulgnnsubcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
4		mulgnnsubcl.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. V )
5		mulgnnsubcl.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ B )
6		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mulgnnsubcl 13026	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )
8	7	3expa 1204	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN ) /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )
9	8	an32s 568	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. S ) /\ N e. NN ) -> ( N .x. X ) e. S )
10	9	3adantl2 1155	. 2 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N e. NN ) -> ( N .x. X ) e. S )
11		oveq1 5895	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( N .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
12	5	3ad2ant1 1019	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> S C_ B )
13		simp3 1000	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> X e. S )
14	12, 13	sseldd 3168	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> X e. B )
15		mulgnn0subcl.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
16	1, 15, 2	mulg0 13019	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )
17	14, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( 0 .x. X ) = .0. )
18	11, 17	sylan9eqr 2242	. . 3 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) = .0. )
19		mulgnn0subcl.c	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. S )
20	19	3ad2ant1 1019	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> .0. e. S )
21	20	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N = 0 ) -> .0. e. S )
22	18, 21	eqeltrd 2264	. 2 |- ( ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) e. S )
23		simp2 999	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> N e. NN0 )
24		elnn0 9191	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
25	23, 24	sylib 122	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
26	10, 22, 25	mpjaodan 799	1 |- ( ( ph /\ N e. NN0 /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   C_ wss 3141   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   0cc0 7824   NNcn 8932   NN0cn0 9189   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   0gc0g 12722  ._gcmg 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-minusg 12902  df-mulg 13014

This theorem is referenced by:  mulgsubcl  13028  mulgnn0cl  13030  submmulgcl  13057