Theorem mulgnnsubcl 13503

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subsemigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnnsubcl.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnnsubcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
mulgnnsubcl.g	|- ( ph -> G e. V )
mulgnnsubcl.s	|- ( ph -> S C_ B )
mulgnnsubcl.c	|- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
mulgnnsubcl	|- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, B, y   x, G, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y   x, .x.   x, X, y

Allowed substitution hints:   .x. ( y)   V( x, y)

Proof of Theorem mulgnnsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1001	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> N e. NN )
2		mulgnnsubcl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ B )
3	2	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> S C_ B )
4		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> X e. S )
5	3, 4	sseldd 3194	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> X e. B )
6		mulgnnsubcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
7		mulgnnsubcl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
8		mulgnnsubcl.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
9		eqid 2205	. . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
10	6, 7, 8, 9	mulgnn 13495	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
11	1, 5, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
12		nnuz 9686	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13		1zzd 9401	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> 1 e. ZZ )
14		fvconst2g 5800	. . . . . 6 |- ( ( X e. S /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
15	4, 14	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
16		simpl3 1005	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. NN ) -> X e. S )
17	15, 16	eqeltrd 2282	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. S )
18		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
19	18	3expb 1207	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
20	19	3ad2antl1 1162	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
21	12, 13, 17, 20	seqf 10611	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) : NN --> S )
22	21, 1	ffvelcdmd 5718	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) e. S )
23	11, 22	eqeltrd 2282	1 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   {csn 3633   X. cxp 4674   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   1c1 7928   NNcn 9038   seqcseq 10594   Basecbs 12865   +g cplusg 12942  ._gcmg 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-2 9097  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-seqfrec 10595  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-plusg 12955  df-0g 13123  df-minusg 13369  df-mulg 13489

This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  13504  mulgsubcl  13505  mulgnncl  13506