Theorem mulgnnsubcl 13671

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subsemigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnnsubcl.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnnsubcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
mulgnnsubcl.g	|- ( ph -> G e. V )
mulgnnsubcl.s	|- ( ph -> S C_ B )
mulgnnsubcl.c	|- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
mulgnnsubcl	|- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, B, y   x, G, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y   x, .x.   x, X, y

Allowed substitution hints:   .x. ( y)   V( x, y)

Proof of Theorem mulgnnsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1022	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> N e. NN )
2		mulgnnsubcl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ B )
3	2	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> S C_ B )
4		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> X e. S )
5	3, 4	sseldd 3225	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> X e. B )
6		mulgnnsubcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
7		mulgnnsubcl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
8		mulgnnsubcl.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
9		eqid 2229	. . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
10	6, 7, 8, 9	mulgnn 13663	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
11	1, 5, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
12		nnuz 9758	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13		1zzd 9473	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> 1 e. ZZ )
14		fvconst2g 5853	. . . . . 6 |- ( ( X e. S /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
15	4, 14	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
16		simpl3 1026	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. NN ) -> X e. S )
17	15, 16	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. S )
18		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
19	18	3expb 1228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
20	19	3ad2antl1 1183	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
21	12, 13, 17, 20	seqf 10686	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) : NN --> S )
22	21, 1	ffvelcdmd 5771	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) e. S )
23	11, 22	eqeltrd 2306	1 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   {csn 3666   X. cxp 4717   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   1c1 8000   NNcn 9110   seqcseq 10669   Basecbs 13032   +g cplusg 13110  ._gcmg 13656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-minusg 13537  df-mulg 13657

This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  13672  mulgsubcl  13673  mulgnncl  13674