Theorem mulgnnsubcl 12854

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subsemigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnnsubcl.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnnsubcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
mulgnnsubcl.g	|- ( ph -> G e. V )
mulgnnsubcl.s	|- ( ph -> S C_ B )
mulgnnsubcl.c	|- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
mulgnnsubcl	|- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, B, y   x, G, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y   x, .x.   x, X, y

Allowed substitution hints:   .x. ( y)   V( x, y)

Proof of Theorem mulgnnsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> N e. NN )
2		mulgnnsubcl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ B )
3	2	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> S C_ B )
4		simp3 999	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> X e. S )
5	3, 4	sseldd 3154	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> X e. B )
6		mulgnnsubcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
7		mulgnnsubcl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
8		mulgnnsubcl.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
9		eqid 2175	. . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
10	6, 7, 8, 9	mulgnn 12848	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
11	1, 5, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
12		nnuz 9534	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13		1zzd 9251	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> 1 e. ZZ )
14		fvconst2g 5722	. . . . . 6 |- ( ( X e. S /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
15	4, 14	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
16		simpl3 1002	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. NN ) -> X e. S )
17	15, 16	eqeltrd 2252	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. S )
18		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
19	18	3expb 1204	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
20	19	3ad2antl1 1159	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
21	12, 13, 17, 20	seqf 10429	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) : NN --> S )
22	21, 1	ffvelrnd 5644	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) e. S )
23	11, 22	eqeltrd 2252	1 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   C_ wss 3127   {csn 3589   X. cxp 4618   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   1c1 7787   NNcn 8890   seqcseq 10413   Basecbs 12428   +g cplusg 12492  ._gcmg 12842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-seqfrec 10414  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-plusg 12505  df-0g 12628  df-minusg 12742  df-mulg 12843

This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  12855  mulgsubcl  12856  mulgnncl  12857