ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnn0subcl GIF version

Theorem mulgnn0subcl 12872
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnnsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t · = (.g𝐺)
mulgnnsubcl.p + = (+g𝐺)
mulgnnsubcl.g (𝜑𝐺𝑉)
mulgnnsubcl.s (𝜑𝑆𝐵)
mulgnnsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z 0 = (0g𝐺)
mulgnn0subcl.c (𝜑0𝑆)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0subcl ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnn0subcl
StepHypRef Expression
1 mulgnnsubcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnnsubcl.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
3 mulgnnsubcl.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
4 mulgnnsubcl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑉)
5 mulgnnsubcl.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
6 mulgnnsubcl.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
71, 2, 3, 4, 5, 6mulgnnsubcl 12871 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
873expa 1203 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
98an32s 568 . . 3 (((𝜑𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
1093adantl2 1154 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
11 oveq1 5875 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
1253ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆𝐵)
13 simp3 999 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
1412, 13sseldd 3156 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋𝐵)
15 mulgnn0subcl.z . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
161, 15, 2mulg0 12864 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
1714, 16syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (0 · 𝑋) = 0 )
1811, 17sylan9eqr 2232 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = 0 )
19 mulgnn0subcl.c . . . . 5 (𝜑0𝑆)
20193ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 0𝑆)
2120adantr 276 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 0𝑆)
2218, 21eqeltrd 2254 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
23 simp2 998 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 elnn0 9154 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2523, 24sylib 122 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2610, 22, 25mpjaodan 798 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  cfv 5211  (class class class)co 5868  0cc0 7789  cn 8895  0cn0 9152  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  0gc0g 12640  .gcmg 12859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-seqfrec 10419  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-minusg 12758  df-mulg 12860
This theorem is referenced by:  mulgsubcl  12873  mulgnn0cl  12875  submmulgcl  12901
  Copyright terms: Public domain W3C validator