Theorem mulgnn0subcl 13712

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnsubcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnnsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
mulgnnsubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
mulgnnsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgnn0subcl.c	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0subcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnn0subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnnsubcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnnsubcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		mulgnnsubcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		mulgnnsubcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		mulgnnsubcl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mulgnnsubcl 13711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
8	7	3expa 1227	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
9	8	an32s 568	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
10	9	3adantl2 1178	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
11		oveq1 6020	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
12	5	3ad2ant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13		simp3 1023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
14	12, 13	sseldd 3226	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		mulgnn0subcl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	1, 15, 2	mulg0 13702	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
17	14, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (0 · 𝑋) = 0 )
18	11, 17	sylan9eqr 2284	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = 0 )
19		mulgnn0subcl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
20	19	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑆)
21	20	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 0 ∈ 𝑆)
22	18, 21	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
23		simp2 1022	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		elnn0 9394	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
25	23, 24	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
26	10, 22, 25	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  0cc0 8022  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  0_gc0g 13329  ._gcmg 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-minusg 13577  df-mulg 13697

This theorem is referenced by:  mulgsubcl  13713  mulgnn0cl  13715  submmulgcl  13742