ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lt2 GIF version

Theorem nn0lt2 9310
Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 711 . . 3 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
21a1i 9 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3 nn0z 9249 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 2z 9257 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
5 zltlem1 9286 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
63, 4, 5sylancl 413 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7 2m1e1 9013 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
87breq2i 4008 . . . . 5 (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
96, 8bitrdi 196 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10 necom 2431 . . . . 5 (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11 1z 9255 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
12 zltlen 9307 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
133, 11, 12sylancl 413 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
14 nn0lt10b 9309 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
1514biimpa 296 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
1615orcd 733 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
1716ex 115 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
1813, 17sylbird 170 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
1918expd 258 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2010, 19syl7bi 165 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
219, 20sylbid 150 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2221imp 124 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
23 zdceq 9304 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
243, 11, 23sylancl 413 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 = 1)
2524adantr 276 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → DECID 𝑁 = 1)
26 dcne 2358 . . 3 (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
2725, 26sylib 122 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
282, 22, 27mpjaod 718 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  0cc0 7789  1c1 7790   < clt 7969  cle 7970  cmin 8105  2c2 8946  0cn0 9152  cz 9229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator