Theorem nn0lt2 9272

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 701	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3		nn0z 9211	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		2z 9219	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		zltlem1 9248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
6	3, 4, 5	sylancl 410	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7		2m1e1 8975	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
8	7	breq2i 3990	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
9	6, 8	bitrdi 195	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10		necom 2420	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11		1z 9217	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zltlen 9269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
13	3, 11, 12	sylancl 410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
14		nn0lt10b 9271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
15	14	biimpa 294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
16	15	orcd 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
17	16	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
18	13, 17	sylbird 169	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
19	18	expd 256	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
20	10, 19	syl7bi 164	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
21	9, 20	sylbid 149	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
22	21	imp 123	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
23		zdceq 9266	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
24	3, 11, 23	sylancl 410	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 = 1)
25	24	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → DECID 𝑁 = 1)
26		dcne 2347	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
27	25, 26	sylib 121	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
28	2, 22, 27	mpjaod 708	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  0cc0 7753  1c1 7754   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  2c2 8908  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by: (None)