Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lt2 GIF version

Theorem nn0lt2 9151
 Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 700 . . 3 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
21a1i 9 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3 nn0z 9093 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 2z 9101 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
5 zltlem1 9130 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
63, 4, 5sylancl 409 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7 2m1e1 8857 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
87breq2i 3940 . . . . 5 (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
96, 8syl6bb 195 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10 necom 2392 . . . . 5 (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11 1z 9099 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
12 zltlen 9148 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
133, 11, 12sylancl 409 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
14 nn0lt10b 9150 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
1514biimpa 294 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
1615orcd 722 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
1716ex 114 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
1813, 17sylbird 169 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
1918expd 256 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2010, 19syl7bi 164 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
219, 20sylbid 149 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2221imp 123 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
23 zdceq 9145 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
243, 11, 23sylancl 409 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 = 1)
2524adantr 274 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → DECID 𝑁 = 1)
26 dcne 2319 . . 3 (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
2725, 26sylib 121 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
282, 22, 27mpjaod 707 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   class class class wbr 3932  (class class class)co 5777  0cc0 7639  1c1 7640   < clt 7819   ≤ cle 7820   − cmin 7952  2c2 8790  ℕ0cn0 8996  ℤcz 9073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-inn 8740  df-2 8798  df-n0 8997  df-z 9074 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator