ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lt2 GIF version

Theorem nn0lt2 8926
Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 670 . . 3 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
21a1i 9 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3 nn0z 8868 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 2z 8876 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
5 zltlem1 8905 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
63, 4, 5sylancl 405 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7 2m1e1 8638 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
87breq2i 3875 . . . . 5 (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
96, 8syl6bb 195 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10 necom 2346 . . . . 5 (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11 1z 8874 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
12 zltlen 8923 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
133, 11, 12sylancl 405 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
14 nn0lt10b 8925 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
1514biimpa 291 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
1615orcd 690 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
1716ex 114 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
1813, 17sylbird 169 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
1918expd 255 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2010, 19syl7bi 164 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
219, 20sylbid 149 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2221imp 123 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
23 zdceq 8920 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
243, 11, 23sylancl 405 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 = 1)
2524adantr 271 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → DECID 𝑁 = 1)
26 dcne 2273 . . 3 (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
2725, 26sylib 121 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
282, 22, 27mpjaod 676 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 667  DECID wdc 783   = wceq 1296  wcel 1445  wne 2262   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  0cc0 7447  1c1 7448   < clt 7619  cle 7620  cmin 7750  2c2 8571  0cn0 8771  cz 8848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-inn 8521  df-2 8579  df-n0 8772  df-z 8849
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator