Theorem nndivred 9043

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	|- ( ph -> A e. RR )
nndivred.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nndivred	|- ( ph -> ( A / B ) e. RR )

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		nndivred.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nndivre 9029	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A / B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5923   RRcr 7881   / cdiv 8702   NNcn 8993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994

This theorem is referenced by:  nn0nndivcl  9314  fldiv4lem1div2uz2  10399  flqdiv  10416  bcp1nk  10857  cvg1nlemcau  11152  cvg1nlemres  11153  cvgratnnlemfm  11697  cvgratnnlemrate  11698  reeftcl  11823  efcllemp  11826  eftlub  11858  eirraplem  11945  bitsfzo  12123  bitscmp  12126  pockthlem  12536  lgsquadlem1  15344