ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmass GIF version

Theorem nnmass 6488
Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmass ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐ถ)))

Proof of Theorem nnmass
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ))
2 oveq2 5883 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo ๐ถ))
32oveq2d 5891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ)) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐ถ)))
41, 3eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ)) โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐ถ))))
54imbi2d 230 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ))) โ†” ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐ถ)))))
6 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo โˆ…))
7 oveq2 5883 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo โˆ…))
87oveq2d 5891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ)) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo โˆ…)))
96, 8eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ)) โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo โˆ…) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo โˆ…))))
10 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ))
11 oveq2 5883 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo ๐‘ฆ))
1211oveq2d 5891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ)) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)))
1310, 12eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ)) โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ))))
14 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ))
15 oveq2 5883 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฅ) = (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))
1615oveq2d 5891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ)) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ)))
1714, 16eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ)) โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))
18 nnmcl 6482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
19 nnm0 6476 . . . . . . 7 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo โˆ…) = โˆ…)
2018, 19syl 14 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo โˆ…) = โˆ…)
21 nnm0 6476 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต ยทo โˆ…) = โˆ…)
2221oveq2d 5891 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo (๐ต ยทo โˆ…)) = (๐ด ยทo โˆ…))
23 nnm0 6476 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
2422, 23sylan9eqr 2232 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต ยทo โˆ…)) = โˆ…)
2520, 24eqtr4d 2213 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo โˆ…) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo โˆ…)))
26 oveq1 5882 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต)))
27 nnmsuc 6478 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ) = (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด ยทo ๐ต)))
2818, 27sylan 283 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ) = (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด ยทo ๐ต)))
29283impa 1194 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ) = (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด ยทo ๐ต)))
30 nnmsuc 6478 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
31303adant1 1015 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต))
3231oveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ)) = (๐ด ยทo ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)))
33 nnmcl 6482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰)
34 nndi 6487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ต ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต)))
3533, 34syl3an2 1272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต)))
36353exp 1202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต)))))
3736expd 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต))))))
3837com34 83 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต))))))
3938pm2.43d 50 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต)))))
40393imp 1193 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ((๐ต ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ต)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต)))
4132, 40eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต)))
4229, 41eqeq12d 2192 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ)) โ†” (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) +o (๐ด ยทo ๐ต))))
4326, 42imbitrrid 156 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))
44433exp 1202 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))))
4544com3r 79 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ))))))
4645impd 254 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo suc ๐‘ฆ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo suc ๐‘ฆ)))))
479, 13, 17, 25, 46finds2 4601 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐‘ฅ))))
485, 47vtoclga 2804 . . 3 (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐ถ))))
4948expdcom 1442 . 2 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐ถ)))))
50493imp 1193 1 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ) = (๐ด ยทo (๐ต ยทo ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ…c0 3423  suc csuc 4366  ฯ‰com 4590  (class class class)co 5875   +o coa 6414   ยทo comu 6415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422
This theorem is referenced by:  mulasspig  7331  enq0tr  7433  addcmpblnq0  7442  mulcmpblnq0  7443  mulcanenq0ec  7444  distrnq0  7458  addassnq0  7461
  Copyright terms: Public domain W3C validator