Theorem nnmass 6540

Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmass	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))

Proof of Theorem nnmass

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶))
2		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 ·o 𝑥) = (𝐵 ·o 𝐶))
3	2	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))
4	1, 3	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶))))
5	4	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥))) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))))
6		oveq2 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅))
7		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐵 ·o 𝑥) = (𝐵 ·o ∅))
8	7	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅)))
9	6, 8	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅))))
10		oveq2 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦))
11		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ·o 𝑥) = (𝐵 ·o 𝑦))
12	11	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)))
13	10, 12	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦))))
14		oveq2 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦))
15		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐵 ·o 𝑥) = (𝐵 ·o suc 𝑦))
16	15	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)))
17	14, 16	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦))))
18		nnmcl 6534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
19		nnm0 6528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅) = ∅)
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅) = ∅)
21		nnm0 6528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ·o ∅) = ∅)
22	21	oveq2d 5934	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅)) = (𝐴 ·o ∅))
23		nnm0 6528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
24	22, 23	sylan9eqr 2248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅)) = ∅)
25	20, 24	eqtr4d 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅)))
26		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
27		nnmsuc 6530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
28	18, 27	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
29	28	3impa 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
30		nnmsuc 6530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐵 ·o suc 𝑦) = ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵))
31	30	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐵 ·o suc 𝑦) = ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵))
32	31	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)) = (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)))
33		nnmcl 6534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐵 ·o 𝑦) ∈ ω)
34		nndi 6539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝑦) ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
35	33, 34	syl3an2 1283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
36	35	3exp 1204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))))
37	36	expd 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝑦 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵))))))
38	37	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵))))))
39	38	pm2.43d 50	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))))
40	39	3imp 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
41	32, 40	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
42	29, 41	eqeq12d 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)) ↔ (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵))))
43	26, 42	imbitrrid 156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦))))
44	43	3exp 1204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦))))))
45	44	com3r 79	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦))))))
46	45	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)))))
47	9, 13, 17, 25, 46	finds2 4633	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥))))
48	5, 47	vtoclga 2826	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶))))
49	48	expdcom 1453	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐶 ∈ ω → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))))
50	49	3imp 1195	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3446  suc csuc 4396  ωcom 4622  (class class class)co 5918   +_o coa 6466   ·_o comu 6467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474

This theorem is referenced by:  mulasspig  7392  enq0tr  7494  addcmpblnq0  7503  mulcmpblnq0  7504  mulcanenq0ec  7505  distrnq0  7519  addassnq0  7522