Theorem nnmass 6431

Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmass	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))

Proof of Theorem nnmass

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5829	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶))
2		oveq2 5829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 ·o 𝑥) = (𝐵 ·o 𝐶))
3	2	oveq2d 5837	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))
4	1, 3	eqeq12d 2172	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶))))
5	4	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥))) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))))
6		oveq2 5829	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅))
7		oveq2 5829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐵 ·o 𝑥) = (𝐵 ·o ∅))
8	7	oveq2d 5837	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅)))
9	6, 8	eqeq12d 2172	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅))))
10		oveq2 5829	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦))
11		oveq2 5829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ·o 𝑥) = (𝐵 ·o 𝑦))
12	11	oveq2d 5837	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)))
13	10, 12	eqeq12d 2172	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦))))
14		oveq2 5829	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦))
15		oveq2 5829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐵 ·o 𝑥) = (𝐵 ·o suc 𝑦))
16	15	oveq2d 5837	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)))
17	14, 16	eqeq12d 2172	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥)) ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦))))
18		nnmcl 6425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
19		nnm0 6419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅) = ∅)
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅) = ∅)
21		nnm0 6419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ·o ∅) = ∅)
22	21	oveq2d 5837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅)) = (𝐴 ·o ∅))
23		nnm0 6419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
24	22, 23	sylan9eqr 2212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅)) = ∅)
25	20, 24	eqtr4d 2193	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o ∅) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o ∅)))
26		oveq1 5828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
27		nnmsuc 6421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
28	18, 27	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
29	28	3impa 1177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
30		nnmsuc 6421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐵 ·o suc 𝑦) = ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵))
31	30	3adant1 1000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐵 ·o suc 𝑦) = ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵))
32	31	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)) = (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)))
33		nnmcl 6425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐵 ·o 𝑦) ∈ ω)
34		nndi 6430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝑦) ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
35	33, 34	syl3an2 1254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
36	35	3exp 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))))
37	36	expd 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝑦 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵))))))
38	37	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵))))))
39	38	pm2.43d 50	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))))
40	39	3imp 1176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ·o ((𝐵 ·o 𝑦) +o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
41	32, 40	eqtrd 2190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵)))
42	29, 41	eqeq12d 2172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)) ↔ (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) +o (𝐴 ·o 𝐵)) = ((𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) +o (𝐴 ·o 𝐵))))
43	26, 42	syl5ibr 155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦))))
44	43	3exp 1184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦))))))
45	44	com3r 79	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦))))))
46	45	impd 252	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑦)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o suc 𝑦) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o suc 𝑦)))))
47	9, 13, 17, 25, 46	finds2 4559	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝑥) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝑥))))
48	5, 47	vtoclga 2778	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶))))
49	48	expdcom 1422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐶 ∈ ω → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))))
50	49	3imp 1176	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = (𝐴 ·o (𝐵 ·o 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∅c0 3394  suc csuc 4325  ωcom 4548  (class class class)co 5821   +_o coa 6357   ·_o comu 6358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-oadd 6364  df-omul 6365

This theorem is referenced by:  mulasspig  7246  enq0tr  7348  addcmpblnq0  7357  mulcmpblnq0  7358  mulcanenq0ec  7359  distrnq0  7373  addassnq0  7376