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Theorem qmulcl 9397
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9382 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 elq 9382 . 2  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
3 zmulcl 9075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  z
)  e.  ZZ )
4 nnmulcl 8709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  x.  w
)  e.  NN )
53, 4anim12i 336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN ) )
65an4s 562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN ) )
76adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w )  e.  NN ) )
8 oveq12 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w ) ) )
9 zcn 9027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
10 zcn 9027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
119, 10anim12i 336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
1211ad2ant2r 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
13 nncn 8696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
14 nnap0 8717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
1513, 14jca 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
16 nncn 8696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
17 nnap0 8717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w #  0 )
1816, 17jca 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
1915, 18anim12i 336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )
2019ad2ant2l 499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )
21 divmuldivap 8440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )  ->  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )
2212, 20, 21syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  x.  (
z  /  w ) )  =  ( ( x  x.  z )  /  ( y  x.  w ) ) )
238, 22sylan9eqr 2172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )
24 rspceov 5781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  x.  z
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  x.  B
)  =  ( ( x  x.  z )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  x.  B )  =  ( v  /  u ) )
25243expa 1166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN )  /\  ( A  x.  B )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  x.  B )  =  ( v  /  u ) )
26 elq 9382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  x.  B )  e.  QQ  <->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  x.  B )  =  ( v  /  u ) )
2725, 26sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN )  /\  ( A  x.  B )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
287, 23, 27syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
2928an4s 562 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
3029exp43 369 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ ) ) ) )
3130rexlimivv 2532 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w
)  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ ) ) )
3231rexlimdvv 2533 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ ) )
3332imp 123 . 2  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
341, 2, 33syl2anb 289 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588    x. cmul 7593   # cap 8311    / cdiv 8400   NNcn 8688   ZZcz 9022   QQcq 9379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380
This theorem is referenced by:  qdivcl  9403  flqmulnn0  10040  modqcl  10067  mulqmod0  10071  modqmulnn  10083  modqcyc  10100  mulp1mod1  10106  modqmul1  10118  q2txmodxeq0  10125  modqaddmulmod  10132  modqdi  10133  modqsubdir  10134  qexpcl  10277  qexpclz  10282  qsqcl  10332  dvdslelemd  11468  crth  11827
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