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Theorem qmulcl 9120
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9105 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 elq 9105 . 2  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
3 zmulcl 8801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  z
)  e.  ZZ )
4 nnmulcl 8441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  x.  w
)  e.  NN )
53, 4anim12i 331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN ) )
65an4s 555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN ) )
76adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w )  e.  NN ) )
8 oveq12 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w ) ) )
9 zcn 8753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
10 zcn 8753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
119, 10anim12i 331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
1211ad2ant2r 493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
13 nncn 8428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
14 nnap0 8449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
1513, 14jca 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
16 nncn 8428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
17 nnap0 8449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w #  0 )
1816, 17jca 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
1915, 18anim12i 331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )
2019ad2ant2l 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )
21 divmuldivap 8177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )  ->  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )
2212, 20, 21syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  x.  (
z  /  w ) )  =  ( ( x  x.  z )  /  ( y  x.  w ) ) )
238, 22sylan9eqr 2142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )
24 rspceov 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  x.  z
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  x.  B
)  =  ( ( x  x.  z )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  x.  B )  =  ( v  /  u ) )
25243expa 1143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN )  /\  ( A  x.  B )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  x.  B )  =  ( v  /  u ) )
26 elq 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  x.  B )  e.  QQ  <->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  x.  B )  =  ( v  /  u ) )
2725, 26sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  z )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN )  /\  ( A  x.  B )  =  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
287, 23, 27syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
2928an4s 555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
3029exp43 364 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ ) ) ) )
3130rexlimivv 2494 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w
)  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ ) ) )
3231rexlimdvv 2495 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ ) )
3332imp 122 . 2  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( A  x.  B )  e.  QQ )
341, 2, 33syl2anb 285 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7346   0cc0 7348    x. cmul 7353   # cap 8056    / cdiv 8137   NNcn 8420   ZZcz 8748   QQcq 9102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-q 9103
This theorem is referenced by:  qdivcl  9126  flqmulnn0  9702  modqcl  9729  mulqmod0  9733  modqmulnn  9745  modqcyc  9762  mulp1mod1  9768  modqmul1  9780  q2txmodxeq0  9787  modqaddmulmod  9794  modqdi  9795  modqsubdir  9796  qexpcl  9967  qexpclz  9972  qsqcl  10022  dvdslelemd  11118  crth  11474
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