Theorem qmulcl 10037

Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qmulcl	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )

Proof of Theorem qmulcl

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 10022	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		elq 10022	. 2 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3		zmulcl 9698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x x. z ) e. ZZ )
4		nnmulcl 9325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y x. w ) e. NN )
5	3, 4	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
6	5	an4s 596	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
8		oveq12 6094	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) )
9		zcn 9649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
10		zcn 9649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ZZ -> z e. CC )
11	9, 10	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
12	11	ad2ant2r 513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
13		nncn 9312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
14		nnap0 9333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y # 0 )
15	13, 14	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
16		nncn 9312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w e. CC )
17		nnap0 9333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w # 0 )
18	16, 17	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
19	15, 18	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
20	19	ad2ant2l 512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
21		divmuldivap 9042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ z e. CC ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
22	12, 20, 21	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
23	8, 22	sylan9eqr 2293	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
24		rspceov 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
25	24	3expa 1234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
26		elq 10022	. . . . . . . . 9 |- ( ( A x. B ) e. QQ <-> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
27	25, 26	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
28	7, 23, 27	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
29	28	an4s 596	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ A = ( x / y ) ) /\ ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
30	29	exp43 372	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) ) )
31	30	rexlimivv 2674	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) )
32	31	rexlimdvv 2675	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) )
33	32	imp 124	. 2 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
34	1, 2, 33	syl2anb 291	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   x. cmul 8184   # cap 8909   / cdiv 9002   NNcn 9304   ZZcz 9644   QQcq 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-q 10020

This theorem is used by:  qdivcl  10043  flqmulnn0  10734  modqcl  10763  mulqmod0  10767  modqmulnn  10779  modqcyc  10796  mulp1mod1  10802  modqmul1  10814  q2txmodxeq0  10821  modqaddmulmod  10828  modqdi  10829  modqsubdir  10830  qexpcl  10992  qexpclz  10997  qsqcl  11048  dvdslelemd  12610  crth  13002  pcaddlem  13118  lgseisenlem4  16192  lgseisen  16193  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  apdifflemr  17096  apdiff  17097