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Theorem qmulcl 9969
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )
Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9954 . 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2 elq 9954 . 2 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3 zmulcl 9631 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x x. z ) e. ZZ )
4 nnmulcl 9258 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y x. w ) e. NN )
53, 4anim12i 338 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
65an4s 592 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
76adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
8 oveq12 6059 . . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) )
9 zcn 9582 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
10 zcn 9582 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ZZ -> z e. CC )
119, 10anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
1211ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
13 nncn 9245 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
14 nnap0 9266 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y # 0 )
1513, 14jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
16 nncn 9245 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w e. CC )
17 nnap0 9266 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w # 0 )
1816, 17jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
1915, 18anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
2019ad2ant2l 508 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
21 divmuldivap 8986 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ z e. CC ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
2212, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
238, 22sylan9eqr 2287 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
24 rspceov 6093 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
25243expa 1230 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
26 elq 9954 . . . . . . . . 9 |- ( ( A x. B ) e. QQ <-> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
2725, 26sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
287, 23, 27syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
2928an4s 592 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ A = ( x / y ) ) /\ ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
3029exp43 372 . . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) ) )
3130rexlimivv 2666 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) )
3231rexlimdvv 2667 . . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) )
3332imp 124 . 2 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
341, 2, 33syl2anb 291 1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   x. cmul 8132   # cap 8855   / cdiv 8946   NNcn 9237   ZZcz 9577   QQcq 9951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-q 9952
This theorem is referenced by:  qdivcl  9975  flqmulnn0  10659  modqcl  10688  mulqmod0  10692  modqmulnn  10704  modqcyc  10721  mulp1mod1  10727  modqmul1  10739  q2txmodxeq0  10746  modqaddmulmod  10753  modqdi  10754  modqsubdir  10755  qexpcl  10917  qexpclz  10922  qsqcl  10973  dvdslelemd  12529  crth  12921  pcaddlem  13037  lgseisenlem4  15946  lgseisen  15947  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  apdifflemr  16831  apdiff  16832
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