Theorem qmulcl 9861

Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qmulcl	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )

Proof of Theorem qmulcl

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9846	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		elq 9846	. 2 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3		zmulcl 9523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x x. z ) e. ZZ )
4		nnmulcl 9154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y x. w ) e. NN )
5	3, 4	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
6	5	an4s 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
8		oveq12 6022	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) )
9		zcn 9474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
10		zcn 9474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ZZ -> z e. CC )
11	9, 10	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
12	11	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
13		nncn 9141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
14		nnap0 9162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y # 0 )
15	13, 14	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
16		nncn 9141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w e. CC )
17		nnap0 9162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w # 0 )
18	16, 17	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
19	15, 18	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
20	19	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
21		divmuldivap 8882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ z e. CC ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
22	12, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
23	8, 22	sylan9eqr 2284	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
24		rspceov 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
25	24	3expa 1227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
26		elq 9846	. . . . . . . . 9 |- ( ( A x. B ) e. QQ <-> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
27	25, 26	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
28	7, 23, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
29	28	an4s 590	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ A = ( x / y ) ) /\ ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
30	29	exp43 372	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) ) )
31	30	rexlimivv 2654	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) )
32	31	rexlimdvv 2655	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) )
33	32	imp 124	. 2 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
34	1, 2, 33	syl2anb 291	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   CCcc 8020   0cc0 8022   x. cmul 8027   # cap 8751   / cdiv 8842   NNcn 9133   ZZcz 9469   QQcq 9843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844

This theorem is referenced by:  qdivcl  9867  flqmulnn0  10549  modqcl  10578  mulqmod0  10582  modqmulnn  10594  modqcyc  10611  mulp1mod1  10617  modqmul1  10629  q2txmodxeq0  10636  modqaddmulmod  10643  modqdi  10644  modqsubdir  10645  qexpcl  10807  qexpclz  10812  qsqcl  10863  dvdslelemd  12394  crth  12786  pcaddlem  12902  lgseisenlem4  15792  lgseisen  15793  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  apdifflemr  16587  apdiff  16588