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Theorem qmulcl 9876
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )
Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9861 . 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2 elq 9861 . 2 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3 zmulcl 9538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x x. z ) e. ZZ )
4 nnmulcl 9169 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y x. w ) e. NN )
53, 4anim12i 338 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
65an4s 592 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
76adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
8 oveq12 6032 . . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) )
9 zcn 9489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
10 zcn 9489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ZZ -> z e. CC )
119, 10anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
1211ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
13 nncn 9156 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
14 nnap0 9177 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y # 0 )
1513, 14jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
16 nncn 9156 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w e. CC )
17 nnap0 9177 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w # 0 )
1816, 17jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
1915, 18anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
2019ad2ant2l 508 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
21 divmuldivap 8897 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ z e. CC ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
2212, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
238, 22sylan9eqr 2285 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
24 rspceov 6066 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
25243expa 1229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
26 elq 9861 . . . . . . . . 9 |- ( ( A x. B ) e. QQ <-> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
2725, 26sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
287, 23, 27syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
2928an4s 592 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ A = ( x / y ) ) /\ ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
3029exp43 372 . . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) ) )
3130rexlimivv 2655 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) )
3231rexlimdvv 2656 . . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) )
3332imp 124 . 2 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
341, 2, 33syl2anb 291 1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   E.wrex 2510   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023   CCcc 8035   0cc0 8037   x. cmul 8042   # cap 8766   / cdiv 8857   NNcn 9148   ZZcz 9484   QQcq 9858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859
This theorem is referenced by:  qdivcl  9882  flqmulnn0  10565  modqcl  10594  mulqmod0  10598  modqmulnn  10610  modqcyc  10627  mulp1mod1  10633  modqmul1  10645  q2txmodxeq0  10652  modqaddmulmod  10659  modqdi  10660  modqsubdir  10661  qexpcl  10823  qexpclz  10828  qsqcl  10879  dvdslelemd  12427  crth  12819  pcaddlem  12935  lgseisenlem4  15831  lgseisen  15832  lgsquadlem1  15835  lgsquadlem2  15836  apdifflemr  16718  apdiff  16719
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