Theorem pfxccatpfx1 11366

Description: A prefix of a concatenation being a prefix of the first concatenated word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatpfx1	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )

Proof of Theorem pfxccatpfx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1021	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		elfznn0 10394	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0 ... L ) -> N e. NN0 )
3		0elfz 10398	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... N ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... L ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
5		swrdccatin2.l	. . . . . . . 8 |- L = (♯ ` A )
6	5	oveq2i 6039	. . . . . . 7 |- ( 0 ... L ) = ( 0 ... (♯ ` A ) )
7	6	eleq2i 2298	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0 ... L ) <-> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
8	7	biimpi 120	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... L ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
9	4, 8	jca 306	. . . 4 |- ( N e. ( 0 ... L ) -> ( 0 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
10	9	3ad2ant3 1047	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( 0 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
11		swrdccatin1 11355	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( 0 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. 0 , N >. ) = ( A substr <. 0 , N >. ) ) )
12	1, 10, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. 0 , N >. ) = ( A substr <. 0 , N >. ) )
13		ccatcl 11219	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( A ++ B ) e. Word V )
14	13	3adant3 1044	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( A ++ B ) e. Word V )
15	2	3ad2ant3 1047	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> N e. NN0 )
16	14, 15	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ N e. NN0 ) )
17		pfxval 11304	. . 3 |- ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ N e. NN0 ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( ( A ++ B ) substr <. 0 , N >. ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( ( A ++ B ) substr <. 0 , N >. ) )
19		pfxval 11304	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ N e. NN0 ) -> ( A prefix N ) = ( A substr <. 0 , N >. ) )
20	2, 19	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( A prefix N ) = ( A substr <. 0 , N >. ) )
21	20	3adant2 1043	. 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( A prefix N ) = ( A substr <. 0 , N >. ) )
22	12, 18, 21	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8075   NN0cn0 9444   ...cfz 10288  ♯chash 11083  Word cword 11162   ++ cconcat 11216   substr csubstr 11275   prefix cpfx 11302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-concat 11217  df-substr 11276  df-pfx 11303

This theorem is referenced by:  pfxccat3a  11368  pfxccatid  11371