Theorem pfxccatpfx1 11428

Description: A prefix of a concatenation being a prefix of the first concatenated word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatpfx1	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )

Proof of Theorem pfxccatpfx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1021	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		elfznn0 10448	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0 ... L ) -> N e. NN0 )
3		0elfz 10452	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... N ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... L ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
5		swrdccatin2.l	. . . . . . . 8 |- L = (♯ ` A )
6	5	oveq2i 6061	. . . . . . 7 |- ( 0 ... L ) = ( 0 ... (♯ ` A ) )
7	6	eleq2i 2299	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0 ... L ) <-> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
8	7	biimpi 120	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... L ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
9	4, 8	jca 306	. . . 4 |- ( N e. ( 0 ... L ) -> ( 0 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
10	9	3ad2ant3 1047	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( 0 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
11		swrdccatin1 11417	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( 0 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. 0 , N >. ) = ( A substr <. 0 , N >. ) ) )
12	1, 10, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. 0 , N >. ) = ( A substr <. 0 , N >. ) )
13		ccatcl 11281	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( A ++ B ) e. Word V )
14	13	3adant3 1044	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( A ++ B ) e. Word V )
15	2	3ad2ant3 1047	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> N e. NN0 )
16	14, 15	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ N e. NN0 ) )
17		pfxval 11366	. . 3 |- ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ N e. NN0 ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( ( A ++ B ) substr <. 0 , N >. ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( ( A ++ B ) substr <. 0 , N >. ) )
19		pfxval 11366	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ N e. NN0 ) -> ( A prefix N ) = ( A substr <. 0 , N >. ) )
20	2, 19	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( A prefix N ) = ( A substr <. 0 , N >. ) )
21	20	3adant2 1043	. 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( A prefix N ) = ( A substr <. 0 , N >. ) )
22	12, 18, 21	3eqtr4d 2275	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   0cc0 8127   NN0cn0 9496   ...cfz 10342  ♯chash 11138  Word cword 11224   ++ cconcat 11278   substr csubstr 11337   prefix cpfx 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279  df-substr 11338  df-pfx 11365

This theorem is referenced by:  pfxccat3a  11430  pfxccatid  11433