Theorem pfxccat3a 11532

Description: A prefix of a concatenation is either a prefix of the first concatenated word or a concatenation of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )
pfxccatpfx2.m	|- M = (♯ ` B )

Assertion

Ref	Expression
pfxccat3a	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccat3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10538	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> N e. NN0 )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> N e. NN0 )
3	2	nn0zd 9777	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> N e. ZZ )
4		swrdccatin2.l	. . . . . . . 8 |- L = (♯ ` A )
5		lencl 11330	. . . . . . . 8 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
6	4, 5	eqeltrid 2325	. . . . . . 7 |- ( A e. Word V -> L e. NN0 )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> L e. NN0 )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> L e. NN0 )
9	8	nn0zd 9777	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> L e. ZZ )
10		zdcle 9732	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID N <_ L )
11	3, 9, 10	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> DECID N <_ L )
12		exmiddc 848	. . . 4 |- (DECID N <_ L -> ( N <_ L \/ -. N <_ L ) )
13		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
14	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. NN0 )
15	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> L e. NN0 )
16		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N <_ L )
17		elfz2nn0 10536	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0 ... L ) <-> ( N e. NN0 /\ L e. NN0 /\ N <_ L ) )
18	14, 15, 16, 17	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . 9 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. ( 0 ... L ) )
19		df-3an 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... L ) ) )
20	13, 18, 19	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) )
21	4	pfxccatpfx1 11530	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )
23		iftrue 3645	. . . . . . . 8 |- ( N <_ L -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A prefix N ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A prefix N ) )
25	22, 24	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
26	25	ex 115	. . . . 5 |- ( N <_ L -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
27		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
28		elfz2nn0 10536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) <-> ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) )
29	4	eleq1i 2304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. NN0 )
30		nn0ltp1le 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L < N <-> ( L + 1 ) <_ N ) )
31		nn0z 9675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
32		nn0z 9675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
33		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
34	31, 32, 33	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
35	30, 34	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( L + 1 ) <_ N <-> -. N <_ L ) )
36	35	3ad2antr1 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( ( L + 1 ) <_ N <-> -. N <_ L ) )
37		simpr3 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> N <_ ( L + M ) )
38	37	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) )
39	32	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> N e. ZZ )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> N e. ZZ )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> N e. ZZ )
42		peano2nn0 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( L e. NN0 -> ( L + 1 ) e. NN0 )
43	42	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( L e. NN0 -> ( L + 1 ) e. ZZ )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
46		nn0z 9675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( L + M ) e. NN0 -> ( L + M ) e. ZZ )
47	46	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( L + M ) e. ZZ )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( L + M ) e. ZZ )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( L + M ) e. ZZ )
50		elfz 10434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ ( L + 1 ) e. ZZ /\ ( L + M ) e. ZZ ) -> ( N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) <-> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) ) )
51	41, 45, 49, 50	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) <-> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) ) )
52	38, 51	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) )
53	52	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( ( L + 1 ) <_ N -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
54	36, 53	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
56	29, 55	sylbir 135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
57	5, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Word V -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
59	28, 58	biimtrid 152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
60	59	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
61	60	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) )
62		df-3an 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
63	27, 61, 62	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
64		pfxccatpfx2.m	. . . . . . . . 9 |- M = (♯ ` B )
65	4, 64	pfxccatpfx2 11531	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
66	63, 65	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
67		iffalse 3648	. . . . . . . 8 |- ( -. N <_ L -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
69	66, 68	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
70	69	ex 115	. . . . 5 |- ( -. N <_ L -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
71	26, 70	jaoi 728	. . . 4 |- ( ( N <_ L \/ -. N <_ L ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
72	12, 71	syl 14	. . 3 |- (DECID N <_ L -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
73	11, 72	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
74	73	ex 115	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ifcif 3638   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ...cfz 10428  ♯chash 11236  Word cword 11326   ++ cconcat 11380   prefix cpfx 11466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-substr 11440  df-pfx 11467

This theorem is used by: (None)