Theorem pfxccat3a 11318

Description: A prefix of a concatenation is either a prefix of the first concatenated word or a concatenation of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )
pfxccatpfx2.m	|- M = (♯ ` B )

Assertion

Ref	Expression
pfxccat3a	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccat3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10348	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> N e. NN0 )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> N e. NN0 )
3	2	nn0zd 9599	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> N e. ZZ )
4		swrdccatin2.l	. . . . . . . 8 |- L = (♯ ` A )
5		lencl 11116	. . . . . . . 8 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
6	4, 5	eqeltrid 2318	. . . . . . 7 |- ( A e. Word V -> L e. NN0 )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> L e. NN0 )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> L e. NN0 )
9	8	nn0zd 9599	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> L e. ZZ )
10		zdcle 9555	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID N <_ L )
11	3, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> DECID N <_ L )
12		exmiddc 843	. . . 4 |- (DECID N <_ L -> ( N <_ L \/ -. N <_ L ) )
13		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
14	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. NN0 )
15	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> L e. NN0 )
16		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N <_ L )
17		elfz2nn0 10346	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0 ... L ) <-> ( N e. NN0 /\ L e. NN0 /\ N <_ L ) )
18	14, 15, 16, 17	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . 9 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. ( 0 ... L ) )
19		df-3an 1006	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... L ) ) )
20	13, 18, 19	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) )
21	4	pfxccatpfx1 11316	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )
23		iftrue 3610	. . . . . . . 8 |- ( N <_ L -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A prefix N ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A prefix N ) )
25	22, 24	eqtr4d 2267	. . . . . 6 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
26	25	ex 115	. . . . 5 |- ( N <_ L -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
27		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
28		elfz2nn0 10346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) <-> ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) )
29	4	eleq1i 2297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. NN0 )
30		nn0ltp1le 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L < N <-> ( L + 1 ) <_ N ) )
31		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
32		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
33		zltnle 9524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
34	31, 32, 33	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
35	30, 34	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( L + 1 ) <_ N <-> -. N <_ L ) )
36	35	3ad2antr1 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( ( L + 1 ) <_ N <-> -. N <_ L ) )
37		simpr3 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> N <_ ( L + M ) )
38	37	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) )
39	32	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> N e. ZZ )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> N e. ZZ )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> N e. ZZ )
42		peano2nn0 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( L e. NN0 -> ( L + 1 ) e. NN0 )
43	42	nn0zd 9599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( L e. NN0 -> ( L + 1 ) e. ZZ )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
46		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( L + M ) e. NN0 -> ( L + M ) e. ZZ )
47	46	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( L + M ) e. ZZ )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( L + M ) e. ZZ )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( L + M ) e. ZZ )
50		elfz 10248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ ( L + 1 ) e. ZZ /\ ( L + M ) e. ZZ ) -> ( N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) <-> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) ) )
51	41, 45, 49, 50	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) <-> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) ) )
52	38, 51	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) )
53	52	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( ( L + 1 ) <_ N -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
54	36, 53	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
56	29, 55	sylbir 135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
57	5, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Word V -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
59	28, 58	biimtrid 152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
60	59	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
61	60	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) )
62		df-3an 1006	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
63	27, 61, 62	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
64		pfxccatpfx2.m	. . . . . . . . 9 |- M = (♯ ` B )
65	4, 64	pfxccatpfx2 11317	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
66	63, 65	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
67		iffalse 3613	. . . . . . . 8 |- ( -. N <_ L -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
69	66, 68	eqtr4d 2267	. . . . . 6 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
70	69	ex 115	. . . . 5 |- ( -. N <_ L -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
71	26, 70	jaoi 723	. . . 4 |- ( ( N <_ L \/ -. N <_ L ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
72	12, 71	syl 14	. . 3 |- (DECID N <_ L -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
73	11, 72	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
74	73	ex 115	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ifcif 3605   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ...cfz 10242  ♯chash 11036  Word cword 11112   ++ cconcat 11166   prefix cpfx 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-concat 11167  df-substr 11226  df-pfx 11253

This theorem is referenced by: (None)