Theorem pfxccat3a 11265

Description: A prefix of a concatenation is either a prefix of the first concatenated word or a concatenation of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )
pfxccatpfx2.m	|- M = (♯ ` B )

Assertion

Ref	Expression
pfxccat3a	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccat3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10306	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> N e. NN0 )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> N e. NN0 )
3	2	nn0zd 9563	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> N e. ZZ )
4		swrdccatin2.l	. . . . . . . 8 |- L = (♯ ` A )
5		lencl 11070	. . . . . . . 8 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
6	4, 5	eqeltrid 2316	. . . . . . 7 |- ( A e. Word V -> L e. NN0 )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> L e. NN0 )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> L e. NN0 )
9	8	nn0zd 9563	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> L e. ZZ )
10		zdcle 9519	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID N <_ L )
11	3, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> DECID N <_ L )
12		exmiddc 841	. . . 4 |- (DECID N <_ L -> ( N <_ L \/ -. N <_ L ) )
13		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
14	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. NN0 )
15	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> L e. NN0 )
16		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N <_ L )
17		elfz2nn0 10304	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0 ... L ) <-> ( N e. NN0 /\ L e. NN0 /\ N <_ L ) )
18	14, 15, 16, 17	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . 9 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. ( 0 ... L ) )
19		df-3an 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... L ) ) )
20	13, 18, 19	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) )
21	4	pfxccatpfx1 11263	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )
23		iftrue 3607	. . . . . . . 8 |- ( N <_ L -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A prefix N ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A prefix N ) )
25	22, 24	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
26	25	ex 115	. . . . 5 |- ( N <_ L -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
27		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
28		elfz2nn0 10304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) <-> ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) )
29	4	eleq1i 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. NN0 )
30		nn0ltp1le 9505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L < N <-> ( L + 1 ) <_ N ) )
31		nn0z 9462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
32		nn0z 9462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
33		zltnle 9488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
34	31, 32, 33	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
35	30, 34	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( L + 1 ) <_ N <-> -. N <_ L ) )
36	35	3ad2antr1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( ( L + 1 ) <_ N <-> -. N <_ L ) )
37		simpr3 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> N <_ ( L + M ) )
38	37	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) )
39	32	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> N e. ZZ )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> N e. ZZ )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> N e. ZZ )
42		peano2nn0 9405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( L e. NN0 -> ( L + 1 ) e. NN0 )
43	42	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( L e. NN0 -> ( L + 1 ) e. ZZ )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
46		nn0z 9462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( L + M ) e. NN0 -> ( L + M ) e. ZZ )
47	46	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( L + M ) e. ZZ )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( L + M ) e. ZZ )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( L + M ) e. ZZ )
50		elfz 10206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ ( L + 1 ) e. ZZ /\ ( L + M ) e. ZZ ) -> ( N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) <-> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) ) )
51	41, 45, 49, 50	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) <-> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) ) )
52	38, 51	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) )
53	52	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( ( L + 1 ) <_ N -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
54	36, 53	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
56	29, 55	sylbir 135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
57	5, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Word V -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
59	28, 58	biimtrid 152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
60	59	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
61	60	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) )
62		df-3an 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
63	27, 61, 62	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
64		pfxccatpfx2.m	. . . . . . . . 9 |- M = (♯ ` B )
65	4, 64	pfxccatpfx2 11264	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
66	63, 65	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
67		iffalse 3610	. . . . . . . 8 |- ( -. N <_ L -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
69	66, 68	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
70	69	ex 115	. . . . 5 |- ( -. N <_ L -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
71	26, 70	jaoi 721	. . . 4 |- ( ( N <_ L \/ -. N <_ L ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
72	12, 71	syl 14	. . 3 |- (DECID N <_ L -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
73	11, 72	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
74	73	ex 115	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ifcif 3602   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   <_ cle 8178   - cmin 8313   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   ...cfz 10200  ♯chash 10992  Word cword 11066   ++ cconcat 11120   prefix cpfx 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-concat 11121  df-substr 11173  df-pfx 11200

This theorem is referenced by: (None)