Theorem pfxval 11130

Description: Value of a prefix operation. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxval	|- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )

Proof of Theorem pfxval

Dummy variables l s x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pfx 11129	. . 3 |- prefix = ( s e. _V , l e. NN0 |-> ( s substr <. 0 , l >. ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> prefix = ( s e. _V , l e. NN0 |-> ( s substr <. 0 , l >. ) ) )
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( s = S /\ l = L ) -> s = S )
4		opeq2 3820	. . . . 5 |- ( l = L -> <. 0 , l >. = <. 0 , L >. )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( s = S /\ l = L ) -> <. 0 , l >. = <. 0 , L >. )
6	3, 5	oveq12d 5964	. . 3 |- ( ( s = S /\ l = L ) -> ( s substr <. 0 , l >. ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( s = S /\ l = L ) ) -> ( s substr <. 0 , l >. ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )
8		elex 2783	. . 3 |- ( S e. V -> S e. _V )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> S e. _V )
10		simpr 110	. 2 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> L e. NN0 )
11		simpl 109	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> S e. V )
12		0zd 9386	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
13	10	nn0zd 9495	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> L e. ZZ )
14		swrdval 11104	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = if ( ( 0..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) )
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = if ( ( 0..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) )
16		0z 9385	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
17	13, 12	zsubcld 9502	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( L - 0 ) e. ZZ )
18		fzofig 10579	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( L - 0 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( L - 0 ) ) e. Fin )
19	16, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( 0..^ ( L - 0 ) ) e. Fin )
20	19	mptexd 5813	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) e. _V )
21		0ex 4172	. . . . 5 |- (/) e. _V
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> (/) e. _V )
23	20, 22	ifexd 4532	. . 3 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> if ( ( 0..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) e. _V )
24	15, 23	eqeltrd 2282	. 2 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. _V )
25	2, 7, 9, 10, 24	ovmpod 6075	1 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ifcif 3571   <.cop 3636   |-> cmpt 4106   dom cdm 4676   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948   Fincfn 6829   0cc0 7927   + caddc 7930   - cmin 8245   NN0cn0 9297   ZZcz 9374  ..^cfzo 10266   substr csubstr 11101   prefix cpfx 11128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-1o 6504  df-er 6622  df-en 6830  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-substr 11102  df-pfx 11129

This theorem is referenced by:  pfx00g  11131  pfx0g  11132  pfxclg  11133  pfxmpt  11134  pfxfv  11138  pfxnd  11143  pfxwrdsymbg  11144  pfx1  11157