Theorem pfxval 11206

Description: Value of a prefix operation. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxval	|- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )

Proof of Theorem pfxval

Dummy variables l s x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pfx 11205	. . 3 |- prefix = ( s e. _V , l e. NN0 |-> ( s substr <. 0 , l >. ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> prefix = ( s e. _V , l e. NN0 |-> ( s substr <. 0 , l >. ) ) )
3		simpl 109	. . . 4 |- ( ( s = S /\ l = L ) -> s = S )
4		opeq2 3858	. . . . 5 |- ( l = L -> <. 0 , l >. = <. 0 , L >. )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( s = S /\ l = L ) -> <. 0 , l >. = <. 0 , L >. )
6	3, 5	oveq12d 6019	. . 3 |- ( ( s = S /\ l = L ) -> ( s substr <. 0 , l >. ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( s = S /\ l = L ) ) -> ( s substr <. 0 , l >. ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )
8		elex 2811	. . 3 |- ( S e. V -> S e. _V )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> S e. _V )
10		simpr 110	. 2 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> L e. NN0 )
11		simpl 109	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> S e. V )
12		0zd 9458	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
13	10	nn0zd 9567	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> L e. ZZ )
14		swrdval 11180	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = if ( ( 0..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) )
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = if ( ( 0..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) )
16		0z 9457	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
17	13, 12	zsubcld 9574	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( L - 0 ) e. ZZ )
18		fzofig 10654	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( L - 0 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( L - 0 ) ) e. Fin )
19	16, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( 0..^ ( L - 0 ) ) e. Fin )
20	19	mptexd 5866	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) e. _V )
21		0ex 4211	. . . . 5 |- (/) e. _V
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> (/) e. _V )
23	20, 22	ifexd 4575	. . 3 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> if ( ( 0..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) e. _V )
24	15, 23	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) e. _V )
25	2, 7, 9, 10, 24	ovmpod 6132	1 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = ( S substr <. 0 , L >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   <.cop 3669   |-> cmpt 4145   dom cdm 4719   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003   Fincfn 6887   0cc0 7999   + caddc 8002   - cmin 8317   NN0cn0 9369   ZZcz 9446  ..^cfzo 10338   substr csubstr 11177   prefix cpfx 11204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-substr 11178  df-pfx 11205

This theorem is referenced by:  pfx00g  11207  pfx0g  11208  pfxclg  11210  pfxmpt  11212  pfxfv  11216  pfxnd  11221  pfxwrdsymbg  11222  pfx1  11235  pfxswrd  11238  swrdpfx  11239  pfxpfx  11240  swrdccat  11267  pfxccatpfx1  11268  pfxccatpfx2  11269