Theorem prdsvallem 13348

Description: Lemma for prdsval 13349. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) Extracted from the former proof of prdsval 13349, dependency on df-hom 13177 removed. (Revised by AV, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
prdsvallem	|- ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V

Distinct variable groups:   x, r   f, g, r   v, f, g

Proof of Theorem prdsvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2803	. 2 |- v e. _V
2		fnmap 6819	. . . 4 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3		vex 2803	. . . . . . . . . 10 |- r e. _V
4	3	rnex 4998	. . . . . . . . 9 |- ran r e. _V
5	4	uniex 4532	. . . . . . . 8 |- U. ran r e. _V
6	5	rnex 4998	. . . . . . 7 |- ran U. ran r e. _V
7	6	uniex 4532	. . . . . 6 |- U. ran U. ran r e. _V
8	7	rnex 4998	. . . . 5 |- ran U. ran U. ran r e. _V
9	8	uniex 4532	. . . 4 |- U. ran U. ran U. ran r e. _V
10	3	dmex 4997	. . . 4 |- dom r e. _V
11		fnovex 6046	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ U. ran U. ran U. ran r e. _V /\ dom r e. _V ) -> ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r ) e. _V )
12	2, 9, 10, 11	mp3an 1371	. . 3 |- ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r ) e. _V
13	12	pwex 4271	. 2 |- ~P ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r ) e. _V
14		vex 2803	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
15		vex 2803	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
16	14, 15	fvex 5655	. . . . . . . . 9 |- ( f ` x ) e. _V
17		vex 2803	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
18	17, 15	fvex 5655	. . . . . . . . 9 |- ( g ` x ) e. _V
19		ovssunirng 6048	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f ` x ) e. _V /\ ( g ` x ) e. _V ) -> ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran ( Hom ` ( r ` x ) ) )
20	16, 18, 19	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran ( Hom ` ( r ` x ) )
21		homid 13310	. . . . . . . . . . . 12 |- Hom = Slot ( Hom ` ndx )
22	3, 15	fvex 5655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r ` x ) e. _V
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( r ` x ) e. _V )
24		homslid 13311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Hom = Slot ( Hom ` ndx ) /\ ( Hom ` ndx ) e. NN )
25	24	simpri 113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Hom ` ndx ) e. NN
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( Hom ` ndx ) e. NN )
27	21, 23, 26	strfvssn 13097	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran ( r ` x ) )
28	27	mptru 1404	. . . . . . . . . 10 |- ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran ( r ` x )
29		fvssunirng 5650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. _V -> ( r ` x ) C_ U. ran r )
30	29	elv 2804	. . . . . . . . . . 11 |- ( r ` x ) C_ U. ran r
31		rnss 4960	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r ` x ) C_ U. ran r -> ran ( r ` x ) C_ ran U. ran r )
32		uniss 3912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran ( r ` x ) C_ ran U. ran r -> U. ran ( r ` x ) C_ U. ran U. ran r )
33	30, 31, 32	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- U. ran ( r ` x ) C_ U. ran U. ran r
34	28, 33	sstri 3234	. . . . . . . . 9 |- ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran U. ran r
35		rnss 4960	. . . . . . . . 9 |- ( ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran U. ran r -> ran ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran r )
36		uniss 3912	. . . . . . . . 9 |- ( ran ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran r -> U. ran ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r )
37	34, 35, 36	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- U. ran ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r
38	20, 37	sstri 3234	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r
39	38	rgenw 2585	. . . . . 6 |- A. x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r
40		ss2ixp 6875	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r -> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ X_ x e. dom r U. ran U. ran U. ran r )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 |- X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ X_ x e. dom r U. ran U. ran U. ran r
42	10, 9	ixpconst 6872	. . . . 5 |- X_ x e. dom r U. ran U. ran U. ran r = ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r )
43	41, 42	sseqtri 3259	. . . 4 |- X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r )
44	12, 43	elpwi2 4246	. . 3 |- X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r )
45	44	rgen2w 2586	. 2 |- A. f e. v A. g e. v X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r )
46	1, 1, 13, 45	mpoexw 6373	1 |- ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V

Syntax hints:   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   U.cuni 3891   X. cxp 4721   dom cdm 4723   ran crn 4724   Fn wfn 5319   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015   ^m cmap 6812   X_cixp 6862   NNcn 9136   ndxcnx 13072  Slot cslot 13074   Hom chom 13164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-ixp 6863  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-hom 13177

This theorem is referenced by:  prdsval  13349