Theorem prdsvallem 13681

Description: Lemma for prdsval 14281. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) Extracted from the former proof of prdsval 14281, dependency on df-hom 13515 removed. (Revised by AV, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
prdsvallem	|- ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V

Distinct variable groups:   x, r   f, g, r   v, f, g

Proof of Theorem prdsvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. 2 |- v e. _V
2		fnmap 6933	. . . 4 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- r e. _V
4	3	rnex 5052	. . . . . . . . 9 |- ran r e. _V
5	4	uniex 4585	. . . . . . . 8 |- U. ran r e. _V
6	5	rnex 5052	. . . . . . 7 |- ran U. ran r e. _V
7	6	uniex 4585	. . . . . 6 |- U. ran U. ran r e. _V
8	7	rnex 5052	. . . . 5 |- ran U. ran U. ran r e. _V
9	8	uniex 4585	. . . 4 |- U. ran U. ran U. ran r e. _V
10	3	dmex 5051	. . . 4 |- dom r e. _V
11		fnovex 6121	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ U. ran U. ran U. ran r e. _V /\ dom r e. _V ) -> ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r ) e. _V )
12	2, 9, 10, 11	mp3an 1378	. . 3 |- ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r ) e. _V
13	12	pwex 4322	. 2 |- ~P ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r ) e. _V
14		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
15		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
16	14, 15	fvex 5718	. . . . . . . . 9 |- ( f ` x ) e. _V
17		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
18	17, 15	fvex 5718	. . . . . . . . 9 |- ( g ` x ) e. _V
19		ovssunirng 6123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f ` x ) e. _V /\ ( g ` x ) e. _V ) -> ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran ( Hom ` ( r ` x ) ) )
20	16, 18, 19	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran ( Hom ` ( r ` x ) )
21		homid 13648	. . . . . . . . . . . 12 |- Hom = Slot ( Hom ` ndx )
22	3, 15	fvex 5718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r ` x ) e. _V
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( r ` x ) e. _V )
24		homslid 13649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Hom = Slot ( Hom ` ndx ) /\ ( Hom ` ndx ) e. NN )
25	24	simpri 113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Hom ` ndx ) e. NN
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( Hom ` ndx ) e. NN )
27	21, 23, 26	strfvssn 13433	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran ( r ` x ) )
28	27	mptru 1411	. . . . . . . . . 10 |- ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran ( r ` x )
29		fvssunirng 5713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. _V -> ( r ` x ) C_ U. ran r )
30	29	elv 2825	. . . . . . . . . . 11 |- ( r ` x ) C_ U. ran r
31		rnss 5014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r ` x ) C_ U. ran r -> ran ( r ` x ) C_ ran U. ran r )
32		uniss 3956	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran ( r ` x ) C_ ran U. ran r -> U. ran ( r ` x ) C_ U. ran U. ran r )
33	30, 31, 32	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- U. ran ( r ` x ) C_ U. ran U. ran r
34	28, 33	sstri 3257	. . . . . . . . 9 |- ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran U. ran r
35		rnss 5014	. . . . . . . . 9 |- ( ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran U. ran r -> ran ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran r )
36		uniss 3956	. . . . . . . . 9 |- ( ran ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran r -> U. ran ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r )
37	34, 35, 36	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- U. ran ( Hom ` ( r ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r
38	20, 37	sstri 3257	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r
39	38	rgenw 2605	. . . . . 6 |- A. x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r
40		ss2ixp 6998	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran r -> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ X_ x e. dom r U. ran U. ran U. ran r )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 |- X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ X_ x e. dom r U. ran U. ran U. ran r
42	10, 9	ixpconst 6995	. . . . 5 |- X_ x e. dom r U. ran U. ran U. ran r = ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r )
43	41, 42	sseqtri 3282	. . . 4 |- X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r )
44	12, 43	elpwi2 4296	. . 3 |- X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r )
45	44	rgen2w 2606	. 2 |- A. f e. v A. g e. v X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P ( U. ran U. ran U. ran r ^m dom r )
46	1, 1, 13, 45	mpoexw 6453	1 |- ( f e. v , g e. v |-> X_ x e. dom r ( ( f ` x ) ( Hom ` ( r ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   U.cuni 3935   X. cxp 4774   dom cdm 4776   ran crn 4777   Fn wfn 5375   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   ^m cmap 6926   X_cixp 6985   NNcn 9314   ndxcnx 13408  Slot cslot 13410   Hom chom 13502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-ixp 6986  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-hom 13515

This theorem is used by:  prdsval  14281