Theorem prdsvalstrd 13622

Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
prdsvalstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
prdsvalstrd.m	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
prdsvalstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
prdsvalstrd.c	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
prdsvalstrd.i	⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
prdsvalstrd.t	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
prdsvalstrd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
prdsvalstrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
prdsvalstrd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑇)
prdsvalstrd.x	⊢ (𝜑 → ∙ ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
prdsvalstrd	⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})) Struct ⟨1, ;15⟩)

Proof of Theorem prdsvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unass 3386	. 2 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}))
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
3		prdsvalstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		prdsvalstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		prdsvalstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		prdsvalstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		prdsvalstrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
8		prdsvalstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
9		prdsvalstrd.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
10		prdsvalstrd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
11		prdsvalstrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	imasvalstrd 13621	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩)
13		prdsvalstrd.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑇)
14		prdsvalstrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∙ ∈ 𝑈)
15		1nn0 9581	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4nn 9470	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	15, 16	decnncl 9798	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℕ
18		homndx 13589	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
19		4nn0 9584	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
20		5nn 9471	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 9482	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	15, 19, 20, 21	declt 9806	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	15, 20	decnncl 9798	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ
24		ccondx 13592	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
25	17, 18, 22, 23, 24	strle2g 13463	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑇 ∧ ∙ ∈ 𝑈) → {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩} Struct ⟨;14, ;15⟩)
26	13, 14, 25	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩} Struct ⟨;14, ;15⟩)
27		2nn0 9582	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
28		2lt4 9480	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
29	15, 27, 16, 28	declt 9806	. . . 4 ⊢ ;12 < ;14
30	29	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;12 < ;14)
31	12, 26, 30	strleund 13459	. 2 ⊢ (𝜑 → ((({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}) Struct ⟨1, ;15⟩)
32	1, 31	eqbrtrrid 4166	1 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})) Struct ⟨1, ;15⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {cpr 3710  {ctp 3711  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  1c1 8180   < clt 8360  2c2 9356  4c4 9358  5c5 9359  ;cdc 9779   Struct cstr 13350  ndxcnx 13351  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  ._rcmulr 13434  Scalarcsca 13436   ·_𝑠 cvsca 13437  ·_𝑖cip 13438  TopSetcts 13439  lecple 13440  distcds 13442  Hom chom 13444  compcco 13445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-fz 10414  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-hom 13457  df-cco 13458

This theorem is used by:  prdsbaslemss  14176