Theorem prdsvalstrd 13312

Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
prdsvalstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
prdsvalstrd.m	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
prdsvalstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
prdsvalstrd.c	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
prdsvalstrd.i	⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
prdsvalstrd.t	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
prdsvalstrd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
prdsvalstrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
prdsvalstrd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑇)
prdsvalstrd.x	⊢ (𝜑 → ∙ ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
prdsvalstrd	⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})) Struct ⟨1, ;15⟩)

Proof of Theorem prdsvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unass 3361	. 2 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}))
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
3		prdsvalstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		prdsvalstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		prdsvalstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		prdsvalstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		prdsvalstrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
8		prdsvalstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
9		prdsvalstrd.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
10		prdsvalstrd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
11		prdsvalstrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	imasvalstrd 13311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩)
13		prdsvalstrd.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑇)
14		prdsvalstrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∙ ∈ 𝑈)
15		1nn0 9393	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4nn 9282	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	15, 16	decnncl 9605	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℕ
18		homndx 13274	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
19		4nn0 9396	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
20		5nn 9283	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 9294	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	15, 19, 20, 21	declt 9613	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	15, 20	decnncl 9605	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ
24		ccondx 13277	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
25	17, 18, 22, 23, 24	strle2g 13148	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑇 ∧ ∙ ∈ 𝑈) → {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩} Struct ⟨;14, ;15⟩)
26	13, 14, 25	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩} Struct ⟨;14, ;15⟩)
27		2nn0 9394	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
28		2lt4 9292	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
29	15, 27, 16, 28	declt 9613	. . . 4 ⊢ ;12 < ;14
30	29	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;12 < ;14)
31	12, 26, 30	strleund 13144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}) Struct ⟨1, ;15⟩)
32	1, 31	eqbrtrrid 4119	1 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})) Struct ⟨1, ;15⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  {cpr 3667  {ctp 3668  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  1c1 8008   < clt 8189  2c2 9169  4c4 9171  5c5 9172  ;cdc 9586   Struct cstr 13036  ndxcnx 13037  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  ._rcmulr 13119  Scalarcsca 13121   ·_𝑠 cvsca 13122  ·_𝑖cip 13123  TopSetcts 13124  lecple 13125  distcds 13127  Hom chom 13129  compcco 13130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-hom 13142  df-cco 13143

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  13315