Theorem prdsvalstrd 12973

Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
prdsvalstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
prdsvalstrd.m	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
prdsvalstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
prdsvalstrd.c	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
prdsvalstrd.i	⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
prdsvalstrd.t	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
prdsvalstrd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
prdsvalstrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
prdsvalstrd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑇)
prdsvalstrd.x	⊢ (𝜑 → ∙ ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
prdsvalstrd	⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})) Struct ⟨1, ;15⟩)

Proof of Theorem prdsvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unass 3321	. 2 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}))
2		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
3		prdsvalstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		prdsvalstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		prdsvalstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		prdsvalstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		prdsvalstrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
8		prdsvalstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
9		prdsvalstrd.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
10		prdsvalstrd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
11		prdsvalstrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	imasvalstrd 12972	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩)
13		prdsvalstrd.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑇)
14		prdsvalstrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∙ ∈ 𝑈)
15		1nn0 9282	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4nn 9171	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	15, 16	decnncl 9493	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℕ
18		homndx 12935	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
19		4nn0 9285	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
20		5nn 9172	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 9183	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	15, 19, 20, 21	declt 9501	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	15, 20	decnncl 9493	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ
24		ccondx 12938	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
25	17, 18, 22, 23, 24	strle2g 12810	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑇 ∧ ∙ ∈ 𝑈) → {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩} Struct ⟨;14, ;15⟩)
26	13, 14, 25	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩} Struct ⟨;14, ;15⟩)
27		2nn0 9283	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
28		2lt4 9181	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
29	15, 27, 16, 28	declt 9501	. . . 4 ⊢ ;12 < ;14
30	29	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;12 < ;14)
31	12, 26, 30	strleund 12806	. 2 ⊢ (𝜑 → ((({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}) Struct ⟨1, ;15⟩)
32	1, 31	eqbrtrrid 4070	1 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})) Struct ⟨1, ;15⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {cpr 3624  {ctp 3625  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  1c1 7897   < clt 8078  2c2 9058  4c4 9060  5c5 9061  ;cdc 9474   Struct cstr 12699  ndxcnx 12700  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  ._rcmulr 12781  Scalarcsca 12783   ·_𝑠 cvsca 12784  ·_𝑖cip 12785  TopSetcts 12786  lecple 12787  distcds 12789  Hom chom 12791  compcco 12792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-fz 10101  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-hom 12804  df-cco 12805

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  12976