Theorem prdsvalstrd 13473

Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
prdsvalstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
prdsvalstrd.m	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
prdsvalstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
prdsvalstrd.c	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
prdsvalstrd.i	⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
prdsvalstrd.t	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
prdsvalstrd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
prdsvalstrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
prdsvalstrd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑇)
prdsvalstrd.x	⊢ (𝜑 → ∙ ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
prdsvalstrd	⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})) Struct ⟨1, ;15⟩)

Proof of Theorem prdsvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unass 3375	. 2 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}))
2		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
3		prdsvalstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		prdsvalstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		prdsvalstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		prdsvalstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		prdsvalstrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
8		prdsvalstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
9		prdsvalstrd.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
10		prdsvalstrd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
11		prdsvalstrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	imasvalstrd 13472	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩)
13		prdsvalstrd.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑇)
14		prdsvalstrd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∙ ∈ 𝑈)
15		1nn0 9508	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4nn 9397	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	15, 16	decnncl 9724	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℕ
18		homndx 13435	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
19		4nn0 9511	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
20		5nn 9398	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 9409	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	15, 19, 20, 21	declt 9732	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	15, 20	decnncl 9724	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ
24		ccondx 13438	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
25	17, 18, 22, 23, 24	strle2g 13309	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑇 ∧ ∙ ∈ 𝑈) → {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩} Struct ⟨;14, ;15⟩)
26	13, 14, 25	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩} Struct ⟨;14, ;15⟩)
27		2nn0 9509	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
28		2lt4 9407	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
29	15, 27, 16, 28	declt 9732	. . . 4 ⊢ ;12 < ;14
30	29	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;12 < ;14)
31	12, 26, 30	strleund 13305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}) Struct ⟨1, ;15⟩)
32	1, 31	eqbrtrrid 4144	1 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})) Struct ⟨1, ;15⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   ∪ cun 3208  {cpr 3689  {ctp 3690  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  1c1 8124   < clt 8304  2c2 9284  4c4 9286  5c5 9287  ;cdc 9705   Struct cstr 13197  ndxcnx 13198  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  ._rcmulr 13280  Scalarcsca 13282   ·_𝑠 cvsca 13283  ·_𝑖cip 13284  TopSetcts 13285  lecple 13286  distcds 13288  Hom chom 13290  compcco 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-fz 10339  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-hom 13303  df-cco 13304

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  13476