Theorem psr0lid 14654

Description: The zero element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psr0lid.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psr0lid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psr0lid	⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0lid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psr0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psr0lid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
5		psrgrp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		psr0cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8		psr0cl.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	1, 5, 6, 7, 8, 2	psr0cl 14653	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
10		psr0lid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 9, 10	psradd 14651	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = ((𝐷 × { 0 }) ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑋))
12		fnmap 6810	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
13		nn0ex 9383	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
14	5	elexd 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
15		fnovex 6040	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
16	12, 13, 14, 15	mp3an12i 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
17	7, 16	rabexd 4229	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
18		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	1, 18, 7, 2, 10	psrelbas 14647	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20	18, 8	grpidcl 13570	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
21	6, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 3, 8	grplid 13572	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
23	6, 22	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
24	17, 19, 21, 23	caofid0l 6251	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
25	11, 24	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2799  {csn 3666   × cxp 4717  ^◡ccnv 4718   “ cima 4722   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∘_𝑓 cof 6222   ↑_𝑚 cmap 6803  Fincfn 6895  ℕcn 9118  ℕ₀cn0 9377  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  0_gc0g 13297  Grpcgrp 13541   mPwSer cmps 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-tset 13137  df-rest 13282  df-topn 13283  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-psr 14635

This theorem is referenced by:  psr0  14658