Theorem psr0lid 14488

Description: The zero element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psr0lid.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psr0lid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psr0lid	⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0lid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psr0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2206	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psr0lid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
5		psrgrp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		psr0cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8		psr0cl.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	1, 5, 6, 7, 8, 2	psr0cl 14487	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
10		psr0lid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 9, 10	psradd 14485	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = ((𝐷 × { 0 }) ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑋))
12		fnmap 6749	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
13		nn0ex 9308	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
14	5	elexd 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
15		fnovex 5984	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
16	12, 13, 14, 15	mp3an12i 1354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
17	7, 16	rabexd 4193	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
18		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	1, 18, 7, 2, 10	psrelbas 14481	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20	18, 8	grpidcl 13405	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
21	6, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 3, 8	grplid 13407	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
23	6, 22	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
24	17, 19, 21, 23	caofid0l 6192	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
25	11, 24	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489  Vcvv 2773  {csn 3634   × cxp 4677  ^◡ccnv 4678   “ cima 4682   Fn wfn 5271  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ∘_𝑓 cof 6163   ↑_𝑚 cmap 6742  Fincfn 6834  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  0_gc0g 13132  Grpcgrp 13376   mPwSer cmps 14467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-map 6744  df-ixp 6793  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-tset 12972  df-rest 13117  df-topn 13118  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-pt 13137  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-psr 14469

This theorem is referenced by:  psr0  14492