Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3caopr GIF version

Theorem seq3caopr 10286
 Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqcaopr.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
seqcaopr.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
seqcaopr.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seq3caopr.5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
seq3caopr.6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
seq3caopr.7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
seq3caopr (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   + ,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seq3caopr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
21caovclg 5930 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
3 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝜑)
4 simprrl 529 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑐𝑆)
5 simprlr 528 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑏𝑆)
6 seqcaopr.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
76caovcomg 5933 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑏𝑆)) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
83, 4, 5, 7syl12anc 1215 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
98oveq1d 5796 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
10 simprrr 530 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑑𝑆)
11 seqcaopr.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1211caovassg 5936 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑏𝑆𝑑𝑆)) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
133, 4, 5, 10, 12syl13anc 1219 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
1411caovassg 5936 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑆𝑐𝑆𝑑𝑆)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
153, 5, 4, 10, 14syl13anc 1219 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
169, 13, 153eqtr3d 2181 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
1716oveq2d 5797 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
18 simprll 527 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑎𝑆)
191caovclg 5930 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑆𝑑𝑆)) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
203, 5, 10, 19syl12anc 1215 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2111caovassg 5936 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑐𝑆 ∧ (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
223, 18, 4, 20, 21syl13anc 1219 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
231caovclg 5930 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆)) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2423adantrl 470 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2511caovassg 5936 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆 ∧ (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
263, 18, 5, 24, 25syl13anc 1219 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
2717, 22, 263eqtr4d 2183 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)))
28 seqcaopr.4 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
29 seq3caopr.5 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
30 seq3caopr.6 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
31 seq3caopr.7 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
322, 2, 27, 28, 29, 30, 31seq3caopr2 10285 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  ℤ≥cuz 9349  seqcseq 10248 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249 This theorem is referenced by:  ser3add  10308  prod3fmul  11341
 Copyright terms: Public domain W3C validator