Theorem seq3caopr 10453

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqcaopr.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
seqcaopr.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
seqcaopr.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seq3caopr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
seq3caopr.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑆)
seq3caopr.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
seq3caopr	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   + ,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seq3caopr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2	1	caovclg 6017	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
3		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝜑)
4		simprrl 539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
5		simprlr 538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑏 ∈ 𝑆)
6		seqcaopr.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
7	6	caovcomg 6020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
8	3, 4, 5, 7	syl12anc 1236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
9	8	oveq1d 5880	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
10		simprrr 540	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑑 ∈ 𝑆)
11		seqcaopr.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	11	caovassg 6023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
13	3, 4, 5, 10, 12	syl13anc 1240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
14	11	caovassg 6023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
15	3, 5, 4, 10, 14	syl13anc 1240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
16	9, 13, 15	3eqtr3d 2216	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
17	16	oveq2d 5881	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
18		simprll 537	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑎 ∈ 𝑆)
19	1	caovclg 6017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
20	3, 5, 10, 19	syl12anc 1236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
21	11	caovassg 6023	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆 ∧ (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
22	3, 18, 4, 20, 21	syl13anc 1240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
23	1	caovclg 6017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
24	23	adantrl 478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
25	11	caovassg 6023	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
26	3, 18, 5, 24, 25	syl13anc 1240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
27	17, 22, 26	3eqtr4d 2218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)))
28		seqcaopr.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29		seq3caopr.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
30		seq3caopr.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑆)
31		seq3caopr.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
32	2, 2, 27, 28, 29, 30, 31	seq3caopr2 10452	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℤ_≥cuz 9501  seqcseq 10415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-seqfrec 10416

This theorem is referenced by:  ser3add  10475  prod3fmul  11517