Theorem seq3caopr 10097

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqcaopr.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
seqcaopr.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
seqcaopr.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seq3caopr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
seq3caopr.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑆)
seq3caopr.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
seq3caopr	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   + ,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seq3caopr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2	1	caovclg 5855	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
3		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝜑)
4		simprrl 509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
5		simprlr 508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑏 ∈ 𝑆)
6		seqcaopr.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
7	6	caovcomg 5858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
8	3, 4, 5, 7	syl12anc 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
9	8	oveq1d 5721	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
10		simprrr 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑑 ∈ 𝑆)
11		seqcaopr.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	11	caovassg 5861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
13	3, 4, 5, 10, 12	syl13anc 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
14	11	caovassg 5861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
15	3, 5, 4, 10, 14	syl13anc 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
16	9, 13, 15	3eqtr3d 2140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
17	16	oveq2d 5722	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
18		simprll 507	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑎 ∈ 𝑆)
19	1	caovclg 5855	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
20	3, 5, 10, 19	syl12anc 1182	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
21	11	caovassg 5861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆 ∧ (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
22	3, 18, 4, 20, 21	syl13anc 1186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
23	1	caovclg 5855	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
24	23	adantrl 465	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
25	11	caovassg 5861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
26	3, 18, 5, 24, 25	syl13anc 1186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
27	17, 22, 26	3eqtr4d 2142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)))
28		seqcaopr.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29		seq3caopr.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
30		seq3caopr.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑆)
31		seq3caopr.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
32	2, 2, 27, 28, 29, 30, 31	seq3caopr2 10096	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℤ_≥cuz 9176  seqcseq 10059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-seqfrec 10060

This theorem is referenced by:  ser3add  10119