Theorem seqcaopr3g 10553

Description: Lemma for seqcaopr2g 10555. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr3.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqcaopr3.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
seqcaopr3.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcaopr3.4	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seqcaopr3.5	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seqcaopr3.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
seqcaopr3g.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqcaopr3g.f	|- ( ph -> F e. W )
seqcaopr3g.g	|- ( ph -> G e. X )
seqcaopr3g.h	|- ( ph -> H e. Y )
seqcaopr3.7	|- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqcaopr3g	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, x, y, F   k, H, n   k, N, n, x, y   ph, k, n, x, y   k, G, n, x, y   k, M, n, x, y   Q, k, n, x, y   .+ , n, x, y   S, k, x, y

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   S( n)   H( x, y)   V( x, y, k, n)   W( x, y, k, n)   X( x, y, k, n)   Y( x, y, k, n)

Proof of Theorem seqcaopr3g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr3.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10088	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5546	. . . . 5 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` M ) )
5		fveq2 5546	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6		fveq2 5546	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` M ) )
7	5, 6	oveq12d 5928	. . . . 5 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
8	4, 7	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) ) )
10		fveq2 5546	. . . . 5 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` n ) )
11		fveq2 5546	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
12		fveq2 5546	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) )
13	11, 12	oveq12d 5928	. . . . 5 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
14	10, 13	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = n -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) ) )
16		fveq2 5546	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) )
17		fveq2 5546	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
18		fveq2 5546	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	oveq12d 5928	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		fveq2 5546	. . . . 5 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` N ) )
23		fveq2 5546	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
24		fveq2 5546	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
25	23, 24	oveq12d 5928	. . . . 5 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
26	22, 25	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) ) )
28		fveq2 5546	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( H ` k ) = ( H ` M ) )
29		fveq2 5546	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
30		fveq2 5546	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
31	29, 30	oveq12d 5928	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
32	28, 31	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) ) )
33		seqcaopr3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
34	33	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
35		eluzfz1 10087	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
37	32, 34, 36	rspcdva 2869	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
38		eluzel2 9587	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	1, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
40		seqcaopr3g.h	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. Y )
41		seqcaopr3g.p	. . . . . 6 |- ( ph -> .+ e. V )
42		seq1g 10524	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ H e. Y /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( H ` M ) )
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( H ` M ) )
44		seqcaopr3g.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. W )
45		seq1g 10524	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
46	39, 44, 41, 45	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
47		seqcaopr3g.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. X )
48		seq1g 10524	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ G e. X /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
49	39, 47, 41, 48	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
50	46, 49	oveq12d 5928	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
51	37, 43, 50	3eqtr4d 2236	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
52	51	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) )
53		oveq1 5917	. . . . . 6 |- ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
54		elfzouz 10207	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
55	54	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
56	40	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> H e. Y )
57	41	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> .+ e. V )
58		seqp1g 10527	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ H e. Y /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
60		seqcaopr3.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
61		fveq2 5546	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( n + 1 ) ) )
62		fveq2 5546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
63		fveq2 5546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
64	62, 63	oveq12d 5928	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
65	61, 64	eqeq12d 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
66	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
67		fzofzp1 10284	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
69	65, 66, 68	rspcdva 2869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
70	69	oveq2d 5926	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
71	44	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> F e. W )
72		seqp1g 10527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
73	55, 71, 57, 72	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
74	47	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> G e. X )
75		seqp1g 10527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. X /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
76	55, 74, 57, 75	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
77	73, 76	oveq12d 5928	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
78	60, 70, 77	3eqtr4rd 2237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
79	59, 78	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) ) )
80	53, 79	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
81	80	expcom 116	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
82	81	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
83	9, 15, 21, 27, 52, 82	fzind2 10296	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) )
84	3, 83	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   1c1 7863   + caddc 7865   ZZcz 9307   ZZ>=cuz 9582   ...cfz 10064  ..^cfzo 10198   seqcseq 10508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509

This theorem is referenced by:  seqcaopr2g  10555