Theorem seqcaopr3g 10722

Description: Lemma for seqcaopr2g 10724. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr3.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqcaopr3.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
seqcaopr3.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcaopr3.4	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seqcaopr3.5	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seqcaopr3.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
seqcaopr3g.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqcaopr3g.f	|- ( ph -> F e. W )
seqcaopr3g.g	|- ( ph -> G e. X )
seqcaopr3g.h	|- ( ph -> H e. Y )
seqcaopr3.7	|- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqcaopr3g	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, x, y, F   k, H, n   k, N, n, x, y   ph, k, n, x, y   k, G, n, x, y   k, M, n, x, y   Q, k, n, x, y   .+ , n, x, y   S, k, x, y

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   S( n)   H( x, y)   V( x, y, k, n)   W( x, y, k, n)   X( x, y, k, n)   Y( x, y, k, n)

Proof of Theorem seqcaopr3g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr3.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10236	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5629	. . . . 5 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` M ) )
5		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` M ) )
7	5, 6	oveq12d 6025	. . . . 5 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
8	4, 7	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) ) )
10		fveq2 5629	. . . . 5 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` n ) )
11		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
12		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) )
13	11, 12	oveq12d 6025	. . . . 5 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
14	10, 13	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = n -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) ) )
16		fveq2 5629	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) )
17		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
18		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	oveq12d 6025	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		fveq2 5629	. . . . 5 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` N ) )
23		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
24		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
25	23, 24	oveq12d 6025	. . . . 5 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
26	22, 25	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) ) )
28		fveq2 5629	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( H ` k ) = ( H ` M ) )
29		fveq2 5629	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
30		fveq2 5629	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
31	29, 30	oveq12d 6025	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
32	28, 31	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) ) )
33		seqcaopr3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
34	33	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
35		eluzfz1 10235	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
37	32, 34, 36	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
38		eluzel2 9735	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	1, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
40		seqcaopr3g.h	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. Y )
41		seqcaopr3g.p	. . . . . 6 |- ( ph -> .+ e. V )
42		seq1g 10693	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ H e. Y /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( H ` M ) )
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( H ` M ) )
44		seqcaopr3g.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. W )
45		seq1g 10693	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
46	39, 44, 41, 45	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
47		seqcaopr3g.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. X )
48		seq1g 10693	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ G e. X /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
49	39, 47, 41, 48	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
50	46, 49	oveq12d 6025	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
51	37, 43, 50	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
52	51	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) )
53		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
54		elfzouz 10355	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
55	54	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
56	40	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> H e. Y )
57	41	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> .+ e. V )
58		seqp1g 10696	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ H e. Y /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
60		seqcaopr3.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
61		fveq2 5629	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( n + 1 ) ) )
62		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
63		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
64	62, 63	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
65	61, 64	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
66	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
67		fzofzp1 10441	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
69	65, 66, 68	rspcdva 2912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
70	69	oveq2d 6023	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
71	44	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> F e. W )
72		seqp1g 10696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
73	55, 71, 57, 72	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
74	47	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> G e. X )
75		seqp1g 10696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. X /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
76	55, 74, 57, 75	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
77	73, 76	oveq12d 6025	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
78	60, 70, 77	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
79	59, 78	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) ) )
80	53, 79	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
81	80	expcom 116	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
82	81	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
83	9, 15, 21, 27, 52, 82	fzind2 10453	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) )
84	3, 83	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   1c1 8008   + caddc 8010   ZZcz 9454   ZZ>=cuz 9730   ...cfz 10212  ..^cfzo 10346   seqcseq 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678

This theorem is referenced by:  seqcaopr2g  10724