Theorem seqcaopr2g 10880

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr2.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqcaopr2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
seqcaopr2.3	|- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
seqcaopr2.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcaopr2.5	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seqcaopr2.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seqcaopr2.7	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
seqcaopr2g.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqcaopr2g.f	|- ( ph -> F e. W )
seqcaopr2g.g	|- ( ph -> G e. X )
seqcaopr2g.h	|- ( ph -> H e. Y )

Assertion

Ref	Expression
seqcaopr2g	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   w, k, x, y, z, F   k, H, z   k, N, x, y, z   ph, k, w, x, y, z   k, G, w, x, y, z   k, M, w, x, y, z   Q, k, w, x, y, z   w, .+ , x, y, z   S, k, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   H( x, y, w)   N( w)   V( x, y, z, w, k)   W( x, y, z, w, k)   X( x, y, z, w, k)   Y( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem seqcaopr2g

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr2.1	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		seqcaopr2.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
3		seqcaopr2.4	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		seqcaopr2.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. S )
5		seqcaopr2.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
6		seqcaopr2.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
7		seqcaopr2g.p	. 2 |- ( ph -> .+ e. V )
8		seqcaopr2g.f	. 2 |- ( ph -> F e. W )
9		seqcaopr2g.g	. 2 |- ( ph -> G e. X )
10		seqcaopr2g.h	. 2 |- ( ph -> H e. Y )
11		elfzouz 10507	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
12	11	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
13		elfzouz2 10518	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
15		fzss2 10419	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
17	16	sselda 3242	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> x e. ( M ... N ) )
18	5	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S )
19	18	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S )
20		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
21	20	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
22	21	rspccva 2922	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. S )
23	19, 22	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. S )
24	17, 23	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( G ` x ) e. S )
25	1	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
26	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> G e. X )
27	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> .+ e. V )
28	12, 24, 25, 26, 27	seqclg 10858	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S )
29		fzofzp1 10594	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
30		fveq2 5675	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
31	30	eleq1d 2303	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
32	31	rspccva 2922	. . . 4 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
33	18, 29, 32	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
34	4	ralrimiva 2617	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. S )
35		fveq2 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
36	35	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
37	36	rspccva 2922	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. S /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
38	34, 37	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
39	38	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
40	17, 39	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( F ` x ) e. S )
41	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> F e. W )
42	12, 40, 25, 41, 27	seqclg 10858	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
43		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
44	43	eleq1d 2303	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
45	44	rspccva 2922	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
46	34, 29, 45	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
47		seqcaopr2.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
48	47	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
49	48	ralrimivva 2626	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
50	49	ralrimivva 2626	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
51	50	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
52		oveq1 6065	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) )
53	52	oveq1d 6073	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) )
54		oveq1 6065	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) )
55	54	oveq1d 6073	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
56	53, 55	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
57	56	2ralbidv 2568	. . . . 5 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
58		oveq1 6065	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( y Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) )
59	58	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
60		oveq2 6066	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	60	oveq1d 6073	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
62	59, 61	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
63	62	2ralbidv 2568	. . . . 5 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
64	57, 63	rspc2va 2938	. . . 4 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
65	42, 46, 51, 64	syl21anc 1273	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
66		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
67	66	oveq1d 6073	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
68		oveq1 6065	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( z .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) )
69	68	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) )
70	67, 69	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) ) )
71		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
72	71	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
73		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
74	73	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
75	72, 74	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
76	70, 75	rspc2va 2938	. . 3 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S /\ ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
77	28, 33, 65, 76	syl21anc 1273	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
78	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 77	seqcaopr3g 10878	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1c1 8144   + caddc 8146   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498   seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  seqcaoprg  10882