Theorem seqcaopr2g 10757

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr2.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqcaopr2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
seqcaopr2.3	|- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
seqcaopr2.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcaopr2.5	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seqcaopr2.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seqcaopr2.7	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
seqcaopr2g.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqcaopr2g.f	|- ( ph -> F e. W )
seqcaopr2g.g	|- ( ph -> G e. X )
seqcaopr2g.h	|- ( ph -> H e. Y )

Assertion

Ref	Expression
seqcaopr2g	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   w, k, x, y, z, F   k, H, z   k, N, x, y, z   ph, k, w, x, y, z   k, G, w, x, y, z   k, M, w, x, y, z   Q, k, w, x, y, z   w, .+ , x, y, z   S, k, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   H( x, y, w)   N( w)   V( x, y, z, w, k)   W( x, y, z, w, k)   X( x, y, z, w, k)   Y( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem seqcaopr2g

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr2.1	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		seqcaopr2.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
3		seqcaopr2.4	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		seqcaopr2.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. S )
5		seqcaopr2.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( G ` k ) e. S )
6		seqcaopr2.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
7		seqcaopr2g.p	. 2 |- ( ph -> .+ e. V )
8		seqcaopr2g.f	. 2 |- ( ph -> F e. W )
9		seqcaopr2g.g	. 2 |- ( ph -> G e. X )
10		seqcaopr2g.h	. 2 |- ( ph -> H e. Y )
11		elfzouz 10386	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
12	11	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
13		elfzouz2 10397	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
15		fzss2 10299	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
17	16	sselda 3227	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> x e. ( M ... N ) )
18	5	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S )
19	18	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S )
20		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
21	20	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
22	21	rspccva 2909	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. S )
23	19, 22	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. S )
24	17, 23	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( G ` x ) e. S )
25	1	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
26	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> G e. X )
27	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> .+ e. V )
28	12, 24, 25, 26, 27	seqclg 10735	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S )
29		fzofzp1 10473	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
30		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
31	30	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
32	31	rspccva 2909	. . . 4 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) ( G ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
33	18, 29, 32	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
34	4	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. S )
35		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
36	35	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
37	36	rspccva 2909	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. S /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
38	34, 37	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
39	38	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
40	17, 39	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( F ` x ) e. S )
41	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> F e. W )
42	12, 40, 25, 41, 27	seqclg 10735	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
43		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
44	43	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
45	44	rspccva 2909	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
46	34, 29, 45	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
47		seqcaopr2.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
48	47	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
49	48	ralrimivva 2614	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
50	49	ralrimivva 2614	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
51	50	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
52		oveq1 6025	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) )
53	52	oveq1d 6033	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) )
54		oveq1 6025	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) )
55	54	oveq1d 6033	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
56	53, 55	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
57	56	2ralbidv 2556	. . . . 5 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
58		oveq1 6025	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( y Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) )
59	58	oveq2d 6034	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
60		oveq2 6026	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	60	oveq1d 6033	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
62	59, 61	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
63	62	2ralbidv 2556	. . . . 5 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
64	57, 63	rspc2va 2924	. . . 4 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
65	42, 46, 51, 64	syl21anc 1272	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
66		oveq2 6026	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
67	66	oveq1d 6033	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
68		oveq1 6025	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( z .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) )
69	68	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) )
70	67, 69	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) ) )
71		oveq2 6026	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
72	71	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
73		oveq2 6026	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
74	73	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
75	72, 74	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
76	70, 75	rspc2va 2924	. . 3 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S /\ ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
77	28, 33, 65, 76	syl21anc 1272	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
78	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 77	seqcaopr3g 10755	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   1c1 8033   + caddc 8035   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243  ..^cfzo 10377   seqcseq 10710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711

This theorem is referenced by:  seqcaoprg  10759