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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > seqcaopr2g | Unicode version |
Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) |
Ref | Expression |
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seqcaopr2.1 |
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seqcaopr2.2 |
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seqcaopr2.3 |
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seqcaopr2.4 |
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seqcaopr2.5 |
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seqcaopr2.6 |
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seqcaopr2.7 |
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seqcaopr2g.p |
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seqcaopr2g.f |
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seqcaopr2g.g |
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seqcaopr2g.h |
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Ref | Expression |
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seqcaopr2g |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | seqcaopr2.1 |
. 2
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2 | seqcaopr2.2 |
. 2
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3 | seqcaopr2.4 |
. 2
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4 | seqcaopr2.5 |
. 2
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5 | seqcaopr2.6 |
. 2
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6 | seqcaopr2.7 |
. 2
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7 | seqcaopr2g.p |
. 2
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8 | seqcaopr2g.f |
. 2
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9 | seqcaopr2g.g |
. 2
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10 | seqcaopr2g.h |
. 2
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11 | elfzouz 10207 |
. . . . 5
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12 | 11 | adantl 277 |
. . . 4
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13 | elfzouz2 10218 |
. . . . . . . 8
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14 | 13 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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15 | fzss2 10120 |
. . . . . . 7
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16 | 14, 15 | syl 14 |
. . . . . 6
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17 | 16 | sselda 3179 |
. . . . 5
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18 | 5 | ralrimiva 2567 |
. . . . . . 7
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19 | 18 | adantr 276 |
. . . . . 6
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20 | fveq2 5546 |
. . . . . . . 8
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21 | 20 | eleq1d 2262 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | rspccva 2863 |
. . . . . 6
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23 | 19, 22 | sylan 283 |
. . . . 5
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24 | 17, 23 | syldan 282 |
. . . 4
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25 | 1 | adantlr 477 |
. . . 4
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26 | 9 | adantr 276 |
. . . 4
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27 | 7 | adantr 276 |
. . . 4
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28 | 12, 24, 25, 26, 27 | seqclg 10533 |
. . 3
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29 | fzofzp1 10284 |
. . . 4
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30 | fveq2 5546 |
. . . . . 6
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31 | 30 | eleq1d 2262 |
. . . . 5
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32 | 31 | rspccva 2863 |
. . . 4
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33 | 18, 29, 32 | syl2an 289 |
. . 3
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34 | 4 | ralrimiva 2567 |
. . . . . . . 8
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35 | fveq2 5546 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 35 | eleq1d 2262 |
. . . . . . . . 9
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37 | 36 | rspccva 2863 |
. . . . . . . 8
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38 | 34, 37 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | adantlr 477 |
. . . . . 6
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40 | 17, 39 | syldan 282 |
. . . . 5
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41 | 8 | adantr 276 |
. . . . 5
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42 | 12, 40, 25, 41, 27 | seqclg 10533 |
. . . 4
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43 | fveq2 5546 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | eleq1d 2262 |
. . . . . 6
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45 | 44 | rspccva 2863 |
. . . . 5
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46 | 34, 29, 45 | syl2an 289 |
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47 | seqcaopr2.3 |
. . . . . . . 8
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48 | 47 | anassrs 400 |
. . . . . . 7
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49 | 48 | ralrimivva 2576 |
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50 | 49 | ralrimivva 2576 |
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51 | 50 | adantr 276 |
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52 | oveq1 5917 |
. . . . . . . 8
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53 | 52 | oveq1d 5925 |
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54 | oveq1 5917 |
. . . . . . . 8
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55 | 54 | oveq1d 5925 |
. . . . . . 7
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56 | 53, 55 | eqeq12d 2208 |
. . . . . 6
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57 | 56 | 2ralbidv 2518 |
. . . . 5
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78 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 77 | seqcaopr3g 10553 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4462 ax-setind 4565 ax-iinf 4616 ax-cnex 7953 ax-resscn 7954 ax-1cn 7955 ax-1re 7956 ax-icn 7957 ax-addcl 7958 ax-addrcl 7959 ax-mulcl 7960 ax-addcom 7962 ax-addass 7964 ax-distr 7966 ax-i2m1 7967 ax-0lt1 7968 ax-0id 7970 ax-rnegex 7971 ax-cnre 7973 ax-pre-ltirr 7974 ax-pre-ltwlin 7975 ax-pre-lttrn 7976 ax-pre-ltadd 7978 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4322 df-iord 4395 df-on 4397 df-ilim 4398 df-suc 4400 df-iom 4619 df-xp 4661 df-rel 4662 df-cnv 4663 df-co 4664 df-dm 4665 df-rn 4666 df-res 4667 df-ima 4668 df-iota 5207 df-fun 5248 df-fn 5249 df-f 5250 df-f1 5251 df-fo 5252 df-f1o 5253 df-fv 5254 df-riota 5865 df-ov 5913 df-oprab 5914 df-mpo 5915 df-1st 6184 df-2nd 6185 df-recs 6349 df-frec 6435 df-pnf 8046 df-mnf 8047 df-xr 8048 df-ltxr 8049 df-le 8050 df-sub 8182 df-neg 8183 df-inn 8973 df-n0 9231 df-z 9308 df-uz 9583 df-fz 10065 df-fzo 10199 df-seqfrec 10509 |
This theorem is referenced by: seqcaoprg 10557 |
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