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Theorem seqcaopr2g 10555
Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr2.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqcaopr2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
seqcaopr2.3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
seqcaopr2.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqcaopr2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
seqcaopr2.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  k )  e.  S
)
seqcaopr2.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
seqcaopr2g.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  V )
seqcaopr2g.f  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
seqcaopr2g.g  |-  ( ph  ->  G  e.  X )
seqcaopr2g.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
seqcaopr2g  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    w, k, x, y, z, F    k, H, z    k, N, x, y, z    ph, k, w, x, y, z    k, G, w, x, y, z   
k, M, w, x, y, z    Q, k, w, x, y, z   
w,  .+ , x, y,
z    S, k, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    H( x, y, w)    N( w)    V( x, y, z, w, k)    W( x, y, z, w, k)    X( x, y, z, w, k)    Y( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem seqcaopr2g
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr2.1 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 seqcaopr2.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
3 seqcaopr2.4 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 seqcaopr2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
5 seqcaopr2.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  k )  e.  S
)
6 seqcaopr2.7 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
7 seqcaopr2g.p . 2  |-  ( ph  ->  .+  e.  V )
8 seqcaopr2g.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
9 seqcaopr2g.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  X )
10 seqcaopr2g.h . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  Y )
11 elfzouz 10207 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1211adantl 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
13 elfzouz2 10218 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
1413adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
15 fzss2 10120 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
1614, 15syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
1716sselda 3179 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
185ralrimiva 2567 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S )
1918adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S )
20 fveq2 5546 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ( G `  k )  =  ( G `  x ) )
2120eleq1d 2262 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
2221rspccva 2863 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  x
)  e.  S )
2319, 22sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
2417, 23syldan 282 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
251adantlr 477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
269adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  G  e.  X
)
277adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  .+  e.  V
)
2812, 24, 25, 26, 27seqclg 10533 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S )
29 fzofzp1 10284 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
30 fveq2 5546 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
3130eleq1d 2262 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
3231rspccva 2863 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( G `  k
)  e.  S  /\  ( n  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
3318, 29, 32syl2an 289 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
344ralrimiva 2567 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  S )
35 fveq2 5546 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
3635eleq1d 2262 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  x )  e.  S
) )
3736rspccva 2863 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  S  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  x
)  e.  S )
3834, 37sylan 283 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
3938adantlr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
4017, 39syldan 282 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
418adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  F  e.  W
)
4212, 40, 25, 41, 27seqclg 10533 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  e.  S )
43 fveq2 5546 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
4443eleq1d 2262 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
4544rspccva 2863 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  S  /\  ( n  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
4634, 29, 45syl2an 289 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
47 seqcaopr2.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4847anassrs 400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
4948ralrimivva 2576 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
5049ralrimivva 2576 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
5150adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
52 oveq1 5917 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x Q z )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) )
5352oveq1d 5925 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q z )  .+  (
y Q w ) ) )
54 oveq1 5917 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
5554oveq1d 5925 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
5653, 55eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( ( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y
) Q ( z 
.+  w ) )  <-> 
( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
57562ralbidv 2518 . . . . 5  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y
) Q ( z 
.+  w ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
58 oveq1 5917 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
y Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )
5958oveq2d 5926 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) ) )
60 oveq2 5918 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6160oveq1d 5925 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )
6259, 61eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) ) )
63622ralbidv 2518 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) ) )
6457, 63rspc2va 2878 . . . 4  |-  ( ( ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x 
.+  y ) Q ( z  .+  w
) ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) )
6542, 46, 51, 64syl21anc 1248 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) )
66 oveq2 5918 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
) )
6766oveq1d 5925 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) ) )
68 oveq1 5917 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( z  .+  w
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )
)
6968oveq2d 5926 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  w ) ) )
7067, 69eqeq12d 2208 . . . 4  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  ->  ( ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) )  <->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )
) ) )
71 oveq2 5918 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
7271oveq2d 5926 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
73 oveq2 5918 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7473oveq2d 5926 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7572, 74eqeq12d 2208 . . . 4  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  w )
)  <->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
7670, 75rspc2va 2878 . . 3  |-  ( ( ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S  /\  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w ) ) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q ( G `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7728, 33, 65, 76syl21anc 1248 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
781, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 77seqcaopr3g 10553 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2164   A.wral 2472    C_ wss 3153   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   1c1 7863    + caddc 7865   ZZ>=cuz 9582   ...cfz 10064  ..^cfzo 10198    seqcseq 10508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509
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