ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqclg Unicode version

Theorem seqclg 10549
Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqcl.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqclg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
seqclg.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
Assertion
Ref Expression
seqclg  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Distinct variable groups:    x, F, y   
x,  .+ , y    x, M, y    x, N, y   
x, S, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem seqclg
StepHypRef Expression
1 seqcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 seqclg.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
32adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  F  e.  V )
4 vex 2766 . . 3  |-  x  e. 
_V
5 fvexg 5577 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  x  e.  _V )  ->  ( F `  x
)  e.  _V )
63, 4, 5sylancl 413 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  _V )
7 seqcl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8 seqcl.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
9 ssv 3205 . . 3  |-  S  C_  _V
109a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  _V )
11 seqclg.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
12 simprr 531 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  _V  /\  y  e. 
_V ) )  -> 
y  e.  _V )
13 ovexg 5956 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  /\  .+  e.  W  /\  y  e.  _V )  ->  (
x  .+  y )  e.  _V )
144, 11, 12, 13mp3an2ani 1355 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  _V  /\  y  e. 
_V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  _V )
151, 6, 7, 8, 10, 14seq3clss 10548 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2167   _Vcvv 2763    C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ZZ>=cuz 9598   ...cfz 10080    seqcseq 10524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-ltadd 7993
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-seqfrec 10525
This theorem is referenced by:  seqsplitg  10566  seqcaopr2g  10571  seqf1oglem2a  10595  seqf1oglem2  10597  seqhomog  10607  gsumfzsubmcl  13444
  Copyright terms: Public domain W3C validator