Theorem seqclg 10566

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqclg.f	|- ( ph -> F e. V )
seqclg.p	|- ( ph -> .+ e. W )

Assertion

Ref	Expression
seqclg	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, .+ , y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem seqclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl.1	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		seqclg.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F e. V )
4		vex 2766	. . 3 |- x e. _V
5		fvexg 5578	. . 3 |- ( ( F e. V /\ x e. _V ) -> ( F ` x ) e. _V )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
7		seqcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8		seqcl.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
9		ssv 3206	. . 3 |- S C_ _V
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ _V )
11		seqclg.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
12		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> y e. _V )
13		ovexg 5957	. . 3 |- ( ( x e. _V /\ .+ e. W /\ y e. _V ) -> ( x .+ y ) e. _V )
14	4, 11, 12, 13	mp3an2ani 1355	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x .+ y ) e. _V )
15	1, 6, 7, 8, 10, 14	seq3clss 10565	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   ZZ>=cuz 9603   ...cfz 10085   seqcseq 10541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542

This theorem is referenced by:  seqsplitg  10583  seqcaopr2g  10588  seqf1oglem2a  10612  seqf1oglem2  10614  seqhomog  10624  gsumfzsubmcl  13478