Theorem seqclg 10778

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqclg.f	|- ( ph -> F e. V )
seqclg.p	|- ( ph -> .+ e. W )

Assertion

Ref	Expression
seqclg	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, .+ , y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem seqclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl.1	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		seqclg.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F e. V )
4		vex 2806	. . 3 |- x e. _V
5		fvexg 5667	. . 3 |- ( ( F e. V /\ x e. _V ) -> ( F ` x ) e. _V )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
7		seqcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8		seqcl.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
9		ssv 3250	. . 3 |- S C_ _V
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ _V )
11		seqclg.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
12		simprr 533	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> y e. _V )
13		ovexg 6062	. . 3 |- ( ( x e. _V /\ .+ e. W /\ y e. _V ) -> ( x .+ y ) e. _V )
14	4, 11, 12, 13	mp3an2ani 1381	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x .+ y ) e. _V )
15	1, 6, 7, 8, 10, 14	seq3clss 10777	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286   seqcseq 10753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754

This theorem is referenced by:  seqsplitg  10795  seqcaopr2g  10800  seqf1oglem2a  10824  seqf1oglem2  10826  seqhomog  10836  gsumfzsubmcl  13986