Theorem seqclg 10737

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqclg.f	|- ( ph -> F e. V )
seqclg.p	|- ( ph -> .+ e. W )

Assertion

Ref	Expression
seqclg	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, .+ , y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem seqclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl.1	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		seqclg.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. V )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F e. V )
4		vex 2804	. . 3 |- x e. _V
5		fvexg 5658	. . 3 |- ( ( F e. V /\ x e. _V ) -> ( F ` x ) e. _V )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
7		seqcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8		seqcl.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
9		ssv 3248	. . 3 |- S C_ _V
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ _V )
11		seqclg.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
12		simprr 533	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> y e. _V )
13		ovexg 6054	. . 3 |- ( ( x e. _V /\ .+ e. W /\ y e. _V ) -> ( x .+ y ) e. _V )
14	4, 11, 12, 13	mp3an2ani 1380	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x .+ y ) e. _V )
15	1, 6, 7, 8, 10, 14	seq3clss 10736	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   C_ wss 3199   ` cfv 5325  (class class class)co 6020   ZZ>=cuz 9757   ...cfz 10245   seqcseq 10712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-frec 6559  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-inn 9146  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-fz 10246  df-fzo 10380  df-seqfrec 10713

This theorem is referenced by:  seqsplitg  10754  seqcaopr2g  10759  seqf1oglem2a  10783  seqf1oglem2  10785  seqhomog  10795  gsumfzsubmcl  13945