Theorem seq3clss 10723

Description: Closure property of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3clss.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3clss.ft	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
seq3clss.fs	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3clss.scl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3clss.t	|- ( ph -> S C_ T )
seq3clss.tcl	|- ( ( ph /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )

Assertion

Ref	Expression
seq3clss	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3clss

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3clss.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10257	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5635	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
5	4	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S ) ) )
7		fveq2 5635	. . . . 5 |- ( w = k -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` k ) )
8	7	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) ) )
10		fveq2 5635	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) )
11	10	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) ) )
13		fveq2 5635	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
14	13	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S ) ) )
16		eluzel2 9750	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
17	1, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
18		seq3clss.ft	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
19		seq3clss.tcl	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )
20	17, 18, 19	seq3-1 10714	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
21		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
22	21	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
23		seq3clss.fs	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
24	23	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
25		eluzfz1 10256	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
26	1, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
27	22, 24, 26	rspcdva 2913	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
28	20, 27	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S )
29	28	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S ) )
30		elfzouz 10376	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
31	30	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
32	18	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
33	32	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
34	19	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )
35	34	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )
36	31, 33, 35	seq3p1 10717	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
37		seq3clss.scl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
38	37	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
39	38	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
40		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S )
41		fveq2 5635	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
42	41	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
43	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
44		fzofzp1 10462	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
45	44	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
46	42, 43, 45	rspcdva 2913	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S )
47	39, 40, 46	caovcld 6171	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. S )
48	36, 47	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S )
49	48	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
50	49	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) ) )
51	50	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) ) )
52	6, 9, 12, 15, 29, 51	fzind2 10475	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S ) )
53	3, 52	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3198   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   1c1 8023   + caddc 8025   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233  ..^cfzo 10367   seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  seqclg  10724  seqfeq4g  10783  fsumcl2lem  11949  gsumwsubmcl  13569  gsumfzcl  13572