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Theorem seq3clss 10393
Description: Closure property of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3clss.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seq3clss.ft  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  T
)
seq3clss.fs  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seq3clss.scl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seq3clss.t  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
seq3clss.tcl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  T )
Assertion
Ref Expression
seq3clss  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, F, y    x, M, y    x, N, y   
x, S, y    x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem seq3clss
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3clss.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 9958 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5481 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )
54eleq1d 2233 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  e.  S  <->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S ) )
65imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  e.  S )  <-> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S ) ) )
7 fveq2 5481 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
) )
87eleq1d 2233 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  e.  S  <->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S ) )
98imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  e.  S )  <-> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S ) ) )
10 fveq2 5481 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )
1110eleq1d 2233 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  e.  S  <->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  S ) )
1211imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  e.  S )  <-> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  S ) ) )
13 fveq2 5481 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
1413eleq1d 2233 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  e.  S  <->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  S ) )
1514imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
)  e.  S )  <-> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  S ) ) )
16 eluzel2 9463 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
171, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
18 seq3clss.ft . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  T
)
19 seq3clss.tcl . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  T )
2017, 18, 19seq3-1 10386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
21 fveq2 5481 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
2221eleq1d 2233 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
23 seq3clss.fs . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
2423ralrimiva 2537 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
25 eluzfz1 9957 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
261, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
2722, 24, 26rspcdva 2831 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
2820, 27eqeltrd 2241 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
2928a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S ) )
30 elfzouz 10077 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3130ad2antlr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3218adantlr 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  T
)
3332adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( F `  x )  e.  T
)
3419adantlr 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  T )
3534adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  T )
3631, 33, 35seq3p1 10388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  .+  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
37 seq3clss.scl . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
3837adantlr 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
3938adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
40 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  k )  e.  S )
41 fveq2 5481 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
4241eleq1d 2233 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  S
) )
4324ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
44 fzofzp1 10153 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
4544ad2antlr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
4642, 43, 45rspcdva 2831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  S
)
4739, 40, 46caovcld 5987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  .+  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  S )
4836, 47eqeltrd 2241 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  e.  S )
4948ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  S  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  S ) )
5049expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  k )  e.  S  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  S ) ) )
5150a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  k )  e.  S )  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  e.  S ) ) )
526, 9, 12, 15, 29, 51fzind2 10165 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  e.  S ) )
533, 52mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1342    e. wcel 2135   A.wral 2442    C_ wss 3112   ` cfv 5183  (class class class)co 5837   1c1 7746    + caddc 7748   ZZcz 9183   ZZ>=cuz 9458   ...cfz 9936  ..^cfzo 10068    seqcseq 10371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-addass 7847  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-ltadd 7861
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-frec 6351  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-inn 8850  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-fz 9937  df-fzo 10069  df-seqfrec 10372
This theorem is referenced by:  fsumcl2lem  11329
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