Theorem seq3clss 10908

Description: Closure property of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3clss.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3clss.ft	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
seq3clss.fs	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3clss.scl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3clss.t	|- ( ph -> S C_ T )
seq3clss.tcl	|- ( ( ph /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )

Assertion

Ref	Expression
seq3clss	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3clss

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3clss.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10436	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
5	4	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S ) ) )
7		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = k -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` k ) )
8	7	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) ) )
10		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) )
11	10	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) ) )
13		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
14	13	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S ) ) )
16		eluzel2 9926	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
17	1, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
18		seq3clss.ft	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
19		seq3clss.tcl	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )
20	17, 18, 19	seq3-1 10899	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
21		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
22	21	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
23		seq3clss.fs	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
24	23	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
25		eluzfz1 10435	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
26	1, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
27	22, 24, 26	rspcdva 2934	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
28	20, 27	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S )
29	28	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S ) )
30		elfzouz 10558	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
31	30	ad2antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
32	18	adantlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
33	32	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
34	19	adantlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )
35	34	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )
36	31, 33, 35	seq3p1 10902	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
37		seq3clss.scl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
38	37	adantlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
39	38	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
40		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S )
41		fveq2 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
42	41	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
43	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
44		fzofzp1 10645	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
45	44	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
46	42, 43, 45	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S )
47	39, 40, 46	caovcld 6243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. S )
48	36, 47	eqeltrd 2315	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S )
49	48	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
50	49	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) ) )
51	50	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) ) )
52	6, 9, 12, 15, 29, 51	fzind2 10658	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S ) )
53	3, 52	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411  ..^cfzo 10549   seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885

This theorem is used by:  seqclg  10909  seqfeq4g  10968  fsumcl2lem  12165  gzsumwsubmcl  13801  gzsumcl  13804