Theorem seq3clss 10402

Description: Closure property of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3clss.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3clss.ft	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
seq3clss.fs	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3clss.scl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3clss.t	|- ( ph -> S C_ T )
seq3clss.tcl	|- ( ( ph /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )

Assertion

Ref	Expression
seq3clss	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3clss

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3clss.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 9967	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5486	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
5	4	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S ) ) )
7		fveq2 5486	. . . . 5 |- ( w = k -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` k ) )
8	7	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) )
9	8	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) ) )
10		fveq2 5486	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) )
11	10	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) ) )
13		fveq2 5486	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
14	13	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S <-> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S ) )
15	14	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) e. S ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S ) ) )
16		eluzel2 9471	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
17	1, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
18		seq3clss.ft	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
19		seq3clss.tcl	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )
20	17, 18, 19	seq3-1 10395	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
21		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
22	21	eleq1d 2235	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
23		seq3clss.fs	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
24	23	ralrimiva 2539	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
25		eluzfz1 9966	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
26	1, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
27	22, 24, 26	rspcdva 2835	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
28	20, 27	eqeltrd 2243	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S )
29	28	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) e. S ) )
30		elfzouz 10086	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
31	30	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
32	18	adantlr 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
33	32	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. T )
34	19	adantlr 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )
35	34	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) /\ ( x e. T /\ y e. T ) ) -> ( x .+ y ) e. T )
36	31, 33, 35	seq3p1 10397	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
37		seq3clss.scl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
38	37	adantlr 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
39	38	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
40		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S )
41		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
42	41	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
43	24	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
44		fzofzp1 10162	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
45	44	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
46	42, 43, 45	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S )
47	39, 40, 46	caovcld 5995	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. S )
48	36, 47	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S )
49	48	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
50	49	expcom 115	. . . 4 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) ) )
51	50	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) e. S ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) e. S ) ) )
52	6, 9, 12, 15, 29, 51	fzind2 10174	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S ) )
53	3, 52	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   C_ wss 3116   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1c1 7754   + caddc 7756   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944  ..^cfzo 10077   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  fsumcl2lem  11339