Theorem seqf1oglem2a 10612

Description: Lemma for seqf1og 10615. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqf1o.5	|- ( ph -> C C_ S )
seqf1og.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqf1olem2a.1	|- ( ph -> G : A --> C )
seqf1olem2a.3	|- ( ph -> K e. A )
seqf1olem2a.4	|- ( ph -> ( M ... N ) C_ A )
seqf1oglem2a.a	|- ( ph -> A e. W )

Assertion

Ref	Expression
seqf1oglem2a	|- ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, M, y, z   x, .+ , y, z   x, N, y, z   x, K, y, z   ph, x, y, z   x, S, y, z   x, C, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)   V( x, y, z)   W( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1oglem2a

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10109	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5559	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( seq M ( .+ , G ) ` m ) = ( seq M ( .+ , G ) ` M ) )
5	4	oveq2d 5939	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
6	4	oveq1d 5938	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = M -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
9		fveq2 5559	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( seq M ( .+ , G ) ` m ) = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) )
10	9	oveq2d 5939	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
11	9	oveq1d 5938	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( m = n -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = n -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
14		fveq2 5559	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` m ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 5939	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
16	14	oveq1d 5938	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) )
17	15, 16	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
19		fveq2 5559	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( seq M ( .+ , G ) ` m ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
20	19	oveq2d 5939	. . . . 5 |- ( m = N -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
21	19	oveq1d 5938	. . . . 5 |- ( m = N -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) )
22	20, 21	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = N -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
24		seqf1o.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
25		seqf1olem2a.1	. . . . . 6 |- ( ph -> G : A --> C )
26		seqf1olem2a.3	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. A )
27	25, 26	ffvelcdmd 5699	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` K ) e. C )
28		eluzel2 9608	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
30		seqf1oglem2a.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. W )
31	25, 30	fexd 5793	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. _V )
32		seqf1og.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> .+ e. V )
33		seq1g 10557	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ G e. _V /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
34	29, 31, 32, 33	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
35		seqf1olem2a.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ A )
36		eluzfz1 10108	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
37	1, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
38	35, 37	sseldd 3185	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. A )
39	25, 38	ffvelcdmd 5699	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` M ) e. C )
40	34, 39	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) e. C )
41	24, 27, 40	caovcomd 6081	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) )
42	41	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) ) )
43		oveq1 5930	. . . . . 6 |- ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
44		elfzouz 10228	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
46	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> G e. _V )
47	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> .+ e. V )
48		seqp1g 10560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. _V /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
49	45, 46, 47, 48	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
50	49	oveq2d 5939	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
51		seqf1o.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
52	51	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
53		seqf1o.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C C_ S )
54	53, 27	sseldd 3185	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` K ) e. S )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` K ) e. S )
56	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> C C_ S )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> C C_ S )
58	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> G : A --> C )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> G : A --> C )
60		elfzouz2 10239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
62		fzss2 10141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
64	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... N ) C_ A )
65	63, 64	sstrd 3194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... n ) C_ A )
66	65	sselda 3184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> x e. A )
67	59, 66	ffvelcdmd 5699	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( G ` x ) e. C )
68	57, 67	sseldd 3185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( G ` x ) e. S )
69		seqf1o.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
70	69	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
71	45, 68, 70, 46, 47	seqclg 10566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S )
72		fzofzp1 10305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
73	72	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
74	64, 73	sseldd 3185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. A )
75	58, 74	ffvelcdmd 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. C )
76	56, 75	sseldd 3185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
77	52, 55, 71, 76	caovassd 6084	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
78	50, 77	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
79	52, 71, 76, 55	caovassd 6084	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) )
80	49	oveq1d 5938	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) .+ ( G ` K ) ) )
81	52, 71, 55, 76	caovassd 6084	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` K ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
82	24	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
83	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` K ) e. C )
84	82, 75, 83	caovcomd 6081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( G ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
85	84	oveq2d 5939	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` K ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
86	81, 85	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) )
87	79, 80, 86	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
88	78, 87	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
89	43, 88	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) )
90	89	expcom 116	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
91	90	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) ) -> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
92	8, 13, 18, 23, 42, 91	fzind2 10317	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) ) )
93	3, 92	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   1c1 7882   + caddc 7884   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603   ...cfz 10085  ..^cfzo 10219   seqcseq 10541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10614