Theorem seqf1oglem2a 10884

Description: Lemma for seqf1og 10887. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqf1o.5	|- ( ph -> C C_ S )
seqf1og.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqf1olem2a.1	|- ( ph -> G : A --> C )
seqf1olem2a.3	|- ( ph -> K e. A )
seqf1olem2a.4	|- ( ph -> ( M ... N ) C_ A )
seqf1oglem2a.a	|- ( ph -> A e. W )

Assertion

Ref	Expression
seqf1oglem2a	|- ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, M, y, z   x, .+ , y, z   x, N, y, z   x, K, y, z   ph, x, y, z   x, S, y, z   x, C, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)   V( x, y, z)   W( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1oglem2a

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10369	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( seq M ( .+ , G ) ` m ) = ( seq M ( .+ , G ) ` M ) )
5	4	oveq2d 6068	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
6	4	oveq1d 6067	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = M -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
9		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( seq M ( .+ , G ) ` m ) = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) )
10	9	oveq2d 6068	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
11	9	oveq1d 6067	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( m = n -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = n -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
14		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` m ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 6068	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
16	14	oveq1d 6067	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) )
17	15, 16	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
19		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( seq M ( .+ , G ) ` m ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
20	19	oveq2d 6068	. . . . 5 |- ( m = N -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
21	19	oveq1d 6067	. . . . 5 |- ( m = N -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) )
22	20, 21	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = N -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` m ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` m ) .+ ( G ` K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
24		seqf1o.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
25		seqf1olem2a.1	. . . . . 6 |- ( ph -> G : A --> C )
26		seqf1olem2a.3	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. A )
27	25, 26	ffvelcdmd 5815	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` K ) e. C )
28		eluzel2 9861	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
30		seqf1oglem2a.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. W )
31	25, 30	fexd 5918	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. _V )
32		seqf1og.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> .+ e. V )
33		seq1g 10829	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ G e. _V /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
34	29, 31, 32, 33	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
35		seqf1olem2a.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ A )
36		eluzfz1 10368	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
37	1, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
38	35, 37	sseldd 3241	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. A )
39	25, 38	ffvelcdmd 5815	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` M ) e. C )
40	34, 39	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) e. C )
41	24, 27, 40	caovcomd 6213	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) )
42	41	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` M ) .+ ( G ` K ) ) ) )
43		oveq1 6059	. . . . . 6 |- ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
44		elfzouz 10489	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
46	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> G e. _V )
47	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> .+ e. V )
48		seqp1g 10832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. _V /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
49	45, 46, 47, 48	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
50	49	oveq2d 6068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
51		seqf1o.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
52	51	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
53		seqf1o.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C C_ S )
54	53, 27	sseldd 3241	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` K ) e. S )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` K ) e. S )
56	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> C C_ S )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> C C_ S )
58	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> G : A --> C )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> G : A --> C )
60		elfzouz2 10500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
62		fzss2 10401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
64	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... N ) C_ A )
65	63, 64	sstrd 3250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... n ) C_ A )
66	65	sselda 3240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> x e. A )
67	59, 66	ffvelcdmd 5815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( G ` x ) e. C )
68	57, 67	sseldd 3241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( G ` x ) e. S )
69		seqf1o.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
70	69	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
71	45, 68, 70, 46, 47	seqclg 10838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S )
72		fzofzp1 10576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
73	72	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
74	64, 73	sseldd 3241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. A )
75	58, 74	ffvelcdmd 5815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. C )
76	56, 75	sseldd 3241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
77	52, 55, 71, 76	caovassd 6216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
78	50, 77	eqtr4d 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
79	52, 71, 76, 55	caovassd 6216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) )
80	49	oveq1d 6067	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) .+ ( G ` K ) ) )
81	52, 71, 55, 76	caovassd 6216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` K ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
82	24	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
83	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` K ) e. C )
84	82, 75, 83	caovcomd 6213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( G ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( G ` K ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
85	84	oveq2d 6068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` K ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
86	81, 85	eqtr4d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( ( G ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) )
87	79, 80, 86	3eqtr4d 2277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
88	78, 87	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) <-> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
89	43, 88	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) )
90	89	expcom 116	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
91	90	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` K ) ) ) -> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) .+ ( G ` K ) ) ) ) )
92	8, 13, 18, 23, 42, 91	fzind2 10589	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) ) )
93	3, 92	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( ( G ` K ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   1c1 8130   + caddc 8132   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345  ..^cfzo 10480   seqcseq 10813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10886