Theorem seqf2 10883

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl2.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
seqcl2.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqf2.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqf2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqf2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
seqf2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqf2

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seqcl2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
3		ssv 3270	. . . 4 ⊢ 𝐶 ⊆ V
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ V)
5		seqf2.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
6		seqcl2.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
7	5, 6	seqovcd 10882	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)
8		iseqvalcbv 10874	. . 3 ⊢ frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝐶 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
9	1, 8, 2, 6, 5	seqvalcd 10876	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝐶 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
10	1, 2, 4, 7, 8, 9	frecuzrdgtclt 10836	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
11		seqf2.3	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
13	12	feq2d 5516	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶))
14	10, 13	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3708  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ∈ cmpo 6077  freccfrec 6651  1c1 8170   + caddc 8172  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  seqp1cd  10885  ennnfonelemh  13273  ennnfonelemom  13277