ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqf2 GIF version

Theorem seqf2 10177
Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl2.1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
seqcl2.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqf2.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
seqf2.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seqf2.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
seqf2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqf2
Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf2.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 seqcl2.1 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
3 ssv 3087 . . . 4 𝐶 ⊆ V
43a1i 9 . . 3 (𝜑𝐶 ⊆ V)
5 seqf2.5 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
6 seqcl2.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
75, 6seqovcd 10176 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)
8 iseqvalcbv 10170 . . 3 frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝐶 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
91, 8, 2, 6, 5seqvalcd 10172 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝐶 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
101, 2, 4, 7, 8, 9frecuzrdgtclt 10134 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝐶)
11 seqf2.3 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
1211a1i 9 . . 3 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
1312feq2d 5228 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝐶))
1410, 13mpbird 166 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2658  wss 3039  cop 3498  wf 5087  cfv 5091  (class class class)co 5740  cmpo 5742  freccfrec 6253  1c1 7585   + caddc 7587  cz 9005  cuz 9275  seqcseq 10158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-seqfrec 10159
This theorem is referenced by:  seqp1cd  10179  ennnfonelemh  11812  ennnfonelemom  11816
  Copyright terms: Public domain W3C validator