Theorem seqf2 10577

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl2.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
seqcl2.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqf2.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqf2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqf2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
seqf2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqf2

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seqcl2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
3		ssv 3206	. . . 4 ⊢ 𝐶 ⊆ V
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ V)
5		seqf2.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
6		seqcl2.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
7	5, 6	seqovcd 10576	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)
8		iseqvalcbv 10568	. . 3 ⊢ frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝐶 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
9	1, 8, 2, 6, 5	seqvalcd 10570	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝐶 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
10	1, 2, 4, 7, 8, 9	frecuzrdgtclt 10530	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
11		seqf2.3	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
13	12	feq2d 5398	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶))
14	10, 13	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ⟨cop 3626  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  freccfrec 6457  1c1 7897   + caddc 7899  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  seqp1cd  10579  ennnfonelemh  12646  ennnfonelemom  12650