Theorem ennnfonelemh 11953

Description: Lemma for ennnfone 11974. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemh	|- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   j, J   x, N   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( x, y, j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( y, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemh

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . 5 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . 5 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . 5 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemj0 11950	. . . 4 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemg 11952	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
10		nn0uz 9384	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
11		0zd 9090	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemjn 11951	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
13	8, 9, 10, 11, 12	seqf2 10268	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( G , J ) : NN0 --> { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
14		ssrab2 3187	. . . 4 |- { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } C_ ( A ^pm om )
15	14	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } C_ ( A ^pm om ) )
16	13, 15	fssd 5293	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( G , J ) : NN0 --> ( A ^pm om ) )
17	7	feq1i 5273	. 2 |- ( H : NN0 --> ( A ^pm om ) <-> seq 0 ( G , J ) : NN0 --> ( A ^pm om ) )
18	16, 17	sylibr 133	1 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   u. cun 3074   C_ wss 3076   (/)c0 3368   ifcif 3479   {csn 3532   <.cop 3535   |-> cmpt 3997   suc csuc 4295   omcom 4512   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   "cima 4550   -->wf 5127   -onto->wfo 5129   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   e. cmpo 5784  freccfrec 6295   ^pm cpm 6551   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   - cmin 7957   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pm 6553  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  ennnfonelemp1  11955  ennnfonelemrnh  11965  ennnfonelemfun  11966  ennnfonelemf1  11967