Theorem ennnfonelemh 12396

Description: Lemma for ennnfone 12417. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemh	|- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   j, J   x, N   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( x, y, j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( y, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemh

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . 5 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . 5 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . 5 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . 5 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemj0 12393	. . . 4 |- ( ph -> ( J ` 0 ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemg 12395	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } /\ j e. om ) ) -> ( f G j ) e. { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
10		nn0uz 9557	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
11		0zd 9260	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemjn 12394	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( J ` f ) e. om )
13	8, 9, 10, 11, 12	seqf2 10458	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( G , J ) : NN0 --> { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } )
14		ssrab2 3240	. . . 4 |- { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } C_ ( A ^pm om )
15	14	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { g e. ( A ^pm om ) | dom g e. om } C_ ( A ^pm om ) )
16	13, 15	fssd 5376	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( G , J ) : NN0 --> ( A ^pm om ) )
17	7	feq1i 5356	. 2 |- ( H : NN0 --> ( A ^pm om ) <-> seq 0 ( G , J ) : NN0 --> ( A ^pm om ) )
18	16, 17	sylibr 134	1 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   u. cun 3127   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3592   <.cop 3595   |-> cmpt 4063   suc csuc 4364   omcom 4588   `'ccnv 4624   dom cdm 4625   "cima 4628   -->wf 5210   -onto->wfo 5212   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   e. cmpo 5873  freccfrec 6387   ^pm cpm 6645   0cc0 7807   1c1 7808   + caddc 7810   - cmin 8123   NN0cn0 9171   ZZcz 9248   seqcseq 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pm 6647  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-seqfrec 10440

This theorem is referenced by:  ennnfonelemp1  12398  ennnfonelemrnh  12408  ennnfonelemfun  12409  ennnfonelemf1  12410