ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemh Unicode version

Theorem ennnfonelemh 12408
Description: Lemma for ennnfone 12429. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemh  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( A 
^pm  om ) )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    x, F, y   
j, G    j, J    x, N    ph, j, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( k, n)    F( j, k, n)    G( x, y, k, n)    H( x, y, j, k, n)    J( x, y, k, n)    N( y,
j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemh
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
2 ennnfonelemh.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
3 ennnfonelemh.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
4 ennnfonelemh.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
5 ennnfonelemh.n . . . . 5  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
6 ennnfonelemh.j . . . . 5  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
7 ennnfonelemh.h . . . . 5  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelemj0 12405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  0
)  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelemg 12407 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  /\  j  e.  om ) )  ->  (
f G j )  e.  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
10 nn0uz 9565 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
11 0zd 9268 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7ennnfonelemjn 12406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( J `  f )  e.  om )
138, 9, 10, 11, 12seqf2 10467 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 ( G ,  J ) : NN0 --> { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om } )
14 ssrab2 3242 . . . 4  |-  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  C_  ( A  ^pm  om )
1514a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  { g  e.  ( A  ^pm  om )  |  dom  g  e.  om }  C_  ( A  ^pm  om ) )
1613, 15fssd 5380 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 ( G ,  J ) : NN0 --> ( A  ^pm  om ) )
177feq1i 5360 . 2  |-  ( H : NN0 --> ( A 
^pm  om )  <->  seq 0
( G ,  J
) : NN0 --> ( A 
^pm  om ) )
1816, 17sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( A 
^pm  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459    u. cun 3129    C_ wss 3131   (/)c0 3424   ifcif 3536   {csn 3594   <.cop 3597    |-> cmpt 4066   suc csuc 4367   omcom 4591   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   "cima 4631   -->wf 5214   -onto->wfo 5216   ` cfv 5218  (class class class)co 5878    e. cmpo 5880  freccfrec 6394    ^pm cpm 6652   0cc0 7814   1c1 7815    + caddc 7817    - cmin 8131   NN0cn0 9179   ZZcz 9256    seqcseq 10448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pm 6654  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-seqfrec 10449
This theorem is referenced by:  ennnfonelemp1  12410  ennnfonelemrnh  12420  ennnfonelemfun  12421  ennnfonelemf1  12422
  Copyright terms: Public domain W3C validator