Theorem sqoddm1div8z 11883

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8z	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)

Proof of Theorem sqoddm1div8z

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 11870	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁))
2	1	biimpa 296	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁)
3		eqcom 2179	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
4		sqoddm1div8 10668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2))
5	4	adantll 476	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2))
6		mulsucdiv2z 11882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
7	6	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
8	5, 7	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
9	8	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ))
10	3, 9	biimtrid 152	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁 → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ))
11	10	rexlimdva 2594	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁 → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ))
12	2, 11	mpd 13	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872  1c1 7809   + caddc 7811   · cmul 7813   − cmin 8124   / cdiv 8625  2c2 8966  8c8 8972  ℤcz 9249  ↑cexp 10514   ∥ cdvds 11787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-7 8979  df-8 8980  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-dvds 11788

This theorem is referenced by: (None)