Theorem sqoddm1div8z 12470

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8z	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)

Proof of Theorem sqoddm1div8z

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12457	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁))
2	1	biimpa 296	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁)
3		eqcom 2232	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
4		sqoddm1div8 10961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2))
5	4	adantll 476	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2))
6		mulsucdiv2z 12469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
7	6	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
8	5, 7	eqeltrd 2307	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
9	8	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ))
10	3, 9	biimtrid 152	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁 → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ))
11	10	rexlimdva 2649	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁 → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ))
12	2, 11	mpd 13	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042   − cmin 8355   / cdiv 8857  2c2 9199  8c8 9205  ℤcz 9484  ↑cexp 10806   ∥ cdvds 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-dvds 12372

This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  15871