![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sqoddm1div8z | GIF version |
Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
sqoddm1div8z | โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) โ โค) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | odd2np1 11881 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) | |
2 | 1 | biimpa 296 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐) |
3 | eqcom 2179 | . . . 4 โข (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) | |
4 | sqoddm1div8 10677 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โค โง ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) = ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2)) | |
5 | 4 | adantll 476 | . . . . . 6 โข ((((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โง ๐ โ โค) โง ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) = ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2)) |
6 | mulsucdiv2z 11893 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค) | |
7 | 6 | ad2antlr 489 | . . . . . 6 โข ((((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โง ๐ โ โค) โง ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค) |
8 | 5, 7 | eqeltrd 2254 | . . . . 5 โข ((((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โง ๐ โ โค) โง ๐ = ((2 ยท ๐) + 1)) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) โ โค) |
9 | 8 | ex 115 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โง ๐ โ โค) โ (๐ = ((2 ยท ๐) + 1) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) โ โค)) |
10 | 3, 9 | biimtrid 152 | . . 3 โข (((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โง ๐ โ โค) โ (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (((๐โ2) โ 1) / 8) โ โค)) |
11 | 10 | rexlimdva 2594 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (((๐โ2) โ 1) / 8) โ โค)) |
12 | 2, 11 | mpd 13 | 1 โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) โ โค) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1353 โ wcel 2148 โwrex 2456 class class class wbr 4005 (class class class)co 5878 1c1 7815 + caddc 7817 ยท cmul 7819 โ cmin 8131 / cdiv 8632 2c2 8973 8c8 8979 โคcz 9256 โcexp 10522 โฅ cdvds 11797 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7905 ax-resscn 7906 ax-1cn 7907 ax-1re 7908 ax-icn 7909 ax-addcl 7910 ax-addrcl 7911 ax-mulcl 7912 ax-mulrcl 7913 ax-addcom 7914 ax-mulcom 7915 ax-addass 7916 ax-mulass 7917 ax-distr 7918 ax-i2m1 7919 ax-0lt1 7920 ax-1rid 7921 ax-0id 7922 ax-rnegex 7923 ax-precex 7924 ax-cnre 7925 ax-pre-ltirr 7926 ax-pre-ltwlin 7927 ax-pre-lttrn 7928 ax-pre-apti 7929 ax-pre-ltadd 7930 ax-pre-mulgt0 7931 ax-pre-mulext 7932 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-xor 1376 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5834 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-recs 6309 df-frec 6395 df-pnf 7997 df-mnf 7998 df-xr 7999 df-ltxr 8000 df-le 8001 df-sub 8133 df-neg 8134 df-reap 8535 df-ap 8542 df-div 8633 df-inn 8923 df-2 8981 df-3 8982 df-4 8983 df-5 8984 df-6 8985 df-7 8986 df-8 8987 df-n0 9180 df-z 9257 df-uz 9532 df-seqfrec 10449 df-exp 10523 df-dvds 11798 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |