Theorem sqoddm1div8 10838

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8	|- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )

Proof of Theorem sqoddm1div8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5951	. . . . . 6 |- ( M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) )
2		2z 9400	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
4		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
5	3, 4	zmulcld 9501	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
6	5	zcnd 9496	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
7		binom21 10797	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
9	1, 8	sylan9eqr 2260	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( M ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) )
10	9	oveq1d 5959	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) - 1 ) )
11		2cnd 9109	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
12		zcn 9377	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
13	11, 12	sqmuld 10830	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
14		sq2 10780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( 2 ^ 2 ) = 4 )
16	15	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
17	13, 16	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
18		mulass 8056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 2 x. ( 2 x. N ) ) )
19	18	eqcomd 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. N ) )
20	11, 11, 12, 19	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. N ) )
21		2t2e4 9191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 2 ) = 4
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
23	22	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 4 x. N ) )
24	20, 23	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( 2 x. N ) ) = ( 4 x. N ) )
25	17, 24	oveq12d 5962	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
26	25	oveq1d 5959	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) = ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) + 1 ) )
27	26	oveq1d 5959	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) + 1 ) - 1 ) )
28		4z 9402	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. ZZ
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> 4 e. ZZ )
30		zsqcl 10755	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. ZZ )
31	29, 30	zmulcld 9501	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) e. ZZ )
32	31	zcnd 9496	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) e. CC )
33	29, 4	zmulcld 9501	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. N ) e. ZZ )
34	33	zcnd 9496	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. N ) e. CC )
35	32, 34	addcld 8092	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) e. CC )
36		pncan1 8449	. . . . . . 7 |- ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) e. CC -> ( ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
38	27, 37	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
39	38	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
40	10, 39	eqtrd 2238	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
41	40	oveq1d 5959	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) / 8 ) )
42		4cn 9114	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
43	42	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 4 e. CC )
44	30	zcnd 9496	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) e. CC )
45	43, 44, 12	adddid 8097	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
46	45	eqcomd 2211	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) = ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) )
47	46	oveq1d 5959	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) / 8 ) = ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) )
48	47	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) / 8 ) = ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) )
49		4t2e8 9195	. . . . . . 7 |- ( 4 x. 2 ) = 8
50	49	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 4 x. 2 ) = 8 )
51	50	eqcomd 2211	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 8 = ( 4 x. 2 ) )
52	51	oveq2d 5960	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) = ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / ( 4 x. 2 ) ) )
53	30, 4	zaddcld 9499	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) + N ) e. ZZ )
54	53	zcnd 9496	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) + N ) e. CC )
55		2ap0 9129	. . . . . 6 |- 2 # 0
56	55	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
57		4ap0 9135	. . . . . 6 |- 4 # 0
58	57	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 4 # 0 )
59	54, 11, 43, 56, 58	divcanap5d 8890	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / ( 4 x. 2 ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) + N ) / 2 ) )
60	12	sqvald 10815	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
61	60	oveq1d 5959	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) + N ) = ( ( N x. N ) + N ) )
62	12	mulridd 8089	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N x. 1 ) = N )
63	62	eqcomd 2211	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N = ( N x. 1 ) )
64	63	oveq2d 5960	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N x. N ) + N ) = ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) )
65		1cnd 8088	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
66		adddi 8057	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( N x. ( N + 1 ) ) = ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) )
67	66	eqcomd 2211	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) = ( N x. ( N + 1 ) ) )
68	12, 12, 65, 67	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) = ( N x. ( N + 1 ) ) )
69	61, 64, 68	3eqtrd 2242	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N ^ 2 ) + N ) = ( N x. ( N + 1 ) ) )
70	69	oveq1d 5959	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N ^ 2 ) + N ) / 2 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )
71	52, 59, 70	3eqtrd 2242	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )
72	71	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) / 8 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )
73	41, 48, 72	3eqtrd 2242	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> ( ( ( M ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   2c2 9087   4c4 9089   8c8 9093   ZZcz 9372   ^cexp 10683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-exp 10684

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  12197