Theorem absmul 11413

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absmul	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )

Proof of Theorem absmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjmul 11229	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) )
2	1	oveq2d 5962	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) = ( ( A x. B ) x. ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) ) )
3		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	3	cjcld 11284	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` A ) e. CC )
6	4	cjcld 11284	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` B ) e. CC )
7	3, 4, 5, 6	mul4d 8229	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) )
8	2, 7	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) )
9	8	fveq2d 5582	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sqr ` ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
10		cjmulrcl 11231	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. RR )
11		cjmulge0 11233	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) )
12	10, 11	jca 306	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) ) )
13		cjmulrcl 11231	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( B x. ( * ` B ) ) e. RR )
14		cjmulge0 11233	. . . . 5 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( B x. ( * ` B ) ) )
15	13, 14	jca 306	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( ( B x. ( * ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( B x. ( * ` B ) ) ) )
16		sqrtmul 11379	. . . 4 |- ( ( ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) ) /\ ( ( B x. ( * ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( B x. ( * ` B ) ) ) ) -> ( sqr ` ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) x. ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
17	12, 15, 16	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sqr ` ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) x. ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
18	9, 17	eqtrd 2238	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sqr ` ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) x. ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
19		mulcl 8054	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
20		absval 11345	. . 3 |- ( ( A x. B ) e. CC -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( sqr ` ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( sqr ` ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) ) )
22		absval 11345	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
23		absval 11345	. . 3 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) = ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) )
24	22, 23	oveqan12d 5965	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) = ( ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) x. ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
25	18, 21, 24	3eqtr4d 2248	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   x. cmul 7932   <_ cle 8110   *ccj 11183   sqrcsqrt 11340   abscabs 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-rp 9778  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343

This theorem is referenced by:  absdivap  11414  absexp  11423  absimle  11428  abstri  11448  absmuli  11495  absmuld  11538  ef01bndlem  12100  absmulgcd  12371  gcdmultiplez  12375  lgslem3  15512  mul2sq  15626