Theorem absmul 10565

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absmul	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )

Proof of Theorem absmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjmul 10382	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) )
2	1	oveq2d 5684	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) = ( ( A x. B ) x. ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) ) )
3		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	3	cjcld 10437	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` A ) e. CC )
6	4	cjcld 10437	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` B ) e. CC )
7	3, 4, 5, 6	mul4d 7700	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) )
8	2, 7	eqtrd 2121	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) )
9	8	fveq2d 5324	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sqr ` ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
10		cjmulrcl 10384	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. RR )
11		cjmulge0 10386	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) )
12	10, 11	jca 301	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) ) )
13		cjmulrcl 10384	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( B x. ( * ` B ) ) e. RR )
14		cjmulge0 10386	. . . . 5 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( B x. ( * ` B ) ) )
15	13, 14	jca 301	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( ( B x. ( * ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( B x. ( * ` B ) ) ) )
16		sqrtmul 10531	. . . 4 |- ( ( ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) ) /\ ( ( B x. ( * ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( B x. ( * ` B ) ) ) ) -> ( sqr ` ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) x. ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
17	12, 15, 16	syl2an 284	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sqr ` ( ( A x. ( * ` A ) ) x. ( B x. ( * ` B ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) x. ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
18	9, 17	eqtrd 2121	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sqr ` ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) x. ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
19		mulcl 7532	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
20		absval 10497	. . 3 |- ( ( A x. B ) e. CC -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( sqr ` ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( sqr ` ( ( A x. B ) x. ( * ` ( A x. B ) ) ) ) )
22		absval 10497	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
23		absval 10497	. . 3 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) = ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) )
24	22, 23	oveqan12d 5687	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) = ( ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) x. ( sqr ` ( B x. ( * ` B ) ) ) ) )
25	18, 21, 24	3eqtr4d 2131	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   RRcr 7412   0cc0 7413   x. cmul 7418   <_ cle 7586   *ccj 10336   sqrcsqrt 10492   abscabs 10493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-rp 9198  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495

This theorem is referenced by:  absdivap  10566  absexp  10575  absimle  10580  abstri  10600  absmuli  10647  absmuld  10690  ef01bndlem  11110  absmulgcd  11347  gcdmultiplez  11351