ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absmul Unicode version

Theorem absmul 10855
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absmul  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem absmul
StepHypRef Expression
1 cjmul 10671 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( * `  B ) ) )
21oveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  B )  x.  (
* `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( A  x.  B )  x.  ( ( * `  A )  x.  (
* `  B )
) ) )
3 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
53cjcld 10726 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  A
)  e.  CC )
64cjcld 10726 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  B
)  e.  CC )
73, 4, 5, 6mul4d 7931 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  B )  x.  (
( * `  A
)  x.  ( * `
 B ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  x.  ( B  x.  ( * `  B
) ) ) )
82, 7eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  B )  x.  (
* `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  x.  ( B  x.  (
* `  B )
) ) )
98fveq2d 5425 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sqr `  (
( A  x.  B
)  x.  ( * `
 ( A  x.  B ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( A  x.  ( * `  A
) )  x.  ( B  x.  ( * `  B ) ) ) ) )
10 cjmulrcl 10673 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR )
11 cjmulge0 10675 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( A  x.  (
* `  A )
) )
1210, 11jca 304 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  ( * `  A
) ) ) )
13 cjmulrcl 10673 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  x.  ( * `  B ) )  e.  RR )
14 cjmulge0 10675 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <_  ( B  x.  (
* `  B )
) )
1513, 14jca 304 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B  x.  (
* `  B )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( B  x.  ( * `  B
) ) ) )
16 sqrtmul 10821 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  x.  ( * `  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  /\  ( ( B  x.  ( * `  B
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( B  x.  ( * `  B
) ) ) )  ->  ( sqr `  (
( A  x.  (
* `  A )
)  x.  ( B  x.  ( * `  B ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  x.  ( * `  B ) ) ) ) )
1712, 15, 16syl2an 287 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sqr `  (
( A  x.  (
* `  A )
)  x.  ( B  x.  ( * `  B ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  x.  ( * `  B ) ) ) ) )
189, 17eqtrd 2172 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sqr `  (
( A  x.  B
)  x.  ( * `
 ( A  x.  B ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  x.  ( * `  B ) ) ) ) )
19 mulcl 7761 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
20 absval 10787 . . 3  |-  ( ( A  x.  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A  x.  B ) )  =  ( sqr `  (
( A  x.  B
)  x.  ( * `
 ( A  x.  B ) ) ) ) )
2119, 20syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( sqr `  ( ( A  x.  B )  x.  (
* `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
22 absval 10787 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
23 absval 10787 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  =  ( sqr `  ( B  x.  ( * `  B ) ) ) )
2422, 23oveqan12d 5793 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  x.  ( * `  B ) ) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2182 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7632   RRcr 7633   0cc0 7634    x. cmul 7639    <_ cle 7815   *ccj 10625   sqrcsqrt 10782   abscabs 10783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-rp 9456  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785
This theorem is referenced by:  absdivap  10856  absexp  10865  absimle  10870  abstri  10890  absmuli  10937  absmuld  10980  ef01bndlem  11476  absmulgcd  11718  gcdmultiplez  11722
  Copyright terms: Public domain W3C validator