Theorem sqrtsq 11399

Description: Square root of square. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)

Proof of Theorem sqrtsq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	resqcld 10851	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3		sqrtrval 11355	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → (√‘(𝐴↑2)) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
5		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
8		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
10	5, 6, 7, 8, 9	sq11d 10858	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
11	10	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
12		oveq1 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2)))
14		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
15		breq2 4051	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝐴))
16	14, 15	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → 0 ≤ 𝑥))
17	13, 16	jcad 307	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
18	11, 17	impbid 129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝐴))
19	1, 18	riota5 5932	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) = 𝐴)
20	4, 19	eqtrd 2239	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  ℩crio 5905  (class class class)co 5951  ℝcr 7931  0cc0 7932   ≤ cle 8115  2c2 9094  ↑cexp 10690  √csqrt 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-rsqrt 11353

This theorem is referenced by:  sqrtmsq  11400  sqrt1  11401  sqrt4  11402  sqrt9  11403  absreim  11423  absid  11426  sqrtsqi  11478  sqrtsqd  11520