Theorem sqrtsq 11576

Description: Square root of square. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)

Proof of Theorem sqrtsq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	resqcld 10938	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3		sqrtrval 11532	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → (√‘(𝐴↑2)) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
5		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
8		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
10	5, 6, 7, 8, 9	sq11d 10945	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
11	10	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
12		oveq1 6017	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2)))
14		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
15		breq2 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝐴))
16	14, 15	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → 0 ≤ 𝑥))
17	13, 16	jcad 307	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
18	11, 17	impbid 129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝐴))
19	1, 18	riota5 5991	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) = 𝐴)
20	4, 19	eqtrd 2262	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  ℩crio 5962  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  0cc0 8015   ≤ cle 8198  2c2 9177  ↑cexp 10777  √csqrt 11528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-rsqrt 11530

This theorem is referenced by:  sqrtmsq  11577  sqrt1  11578  sqrt4  11579  sqrt9  11580  absreim  11600  absid  11603  sqrtsqi  11655  sqrtsqd  11697