Theorem sqrtsq 11521

Description: Square root of square. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)

Proof of Theorem sqrtsq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	resqcld 10888	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3		sqrtrval 11477	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → (√‘(𝐴↑2)) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
5		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
8		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
10	5, 6, 7, 8, 9	sq11d 10895	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
11	10	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
12		oveq1 5981	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2)))
14		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
15		breq2 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝐴))
16	14, 15	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → 0 ≤ 𝑥))
17	13, 16	jcad 307	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
18	11, 17	impbid 129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝐴))
19	1, 18	riota5 5955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) = 𝐴)
20	4, 19	eqtrd 2242	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  ℩crio 5926  (class class class)co 5974  ℝcr 7966  0cc0 7967   ≤ cle 8150  2c2 9129  ↑cexp 10727  √csqrt 11473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-rsqrt 11475

This theorem is referenced by:  sqrtmsq  11522  sqrt1  11523  sqrt4  11524  sqrt9  11525  absreim  11545  absid  11548  sqrtsqi  11600  sqrtsqd  11642