Theorem sqrtsq 10531

Description: Square root of square. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)

Proof of Theorem sqrtsq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	resqcld 10166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3		sqrtrval 10487	. . 3 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → (√‘(𝐴↑2)) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
5		simplr 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		simplll 501	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simprr 500	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
8		simpllr 502	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
9		simprl 499	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
10	5, 6, 7, 8, 9	sq11d 10173	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 = 𝐴)
11	10	ex 114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
12		oveq1 5673	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2)))
14		simplr 498	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
15		breq2 3855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝐴))
16	14, 15	syl5ibrcom 156	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → 0 ≤ 𝑥))
17	13, 16	jcad 302	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)))
18	11, 17	impbid 128	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝐴))
19	1, 18	riota5 5647	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = (𝐴↑2) ∧ 0 ≤ 𝑥)) = 𝐴)
20	4, 19	eqtrd 2121	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  ℩crio 5621  (class class class)co 5666  ℝcr 7403  0cc0 7404   ≤ cle 7577  2c2 8527  ↑cexp 10008  √csqrt 10483

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-rsqrt 10485

This theorem is referenced by:  sqrtmsq  10532  sqrt1  10533  sqrt4  10534  sqrt9  10535  absreim  10555  absid  10558  sqrtsqi  10610  sqrtsqd  10652