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Theorem ssfzo12bi 9525
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12bi (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐿𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12bi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 922 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿))
21biimpri 131 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
323adant2 958 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
4 ssfzo12 9524 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
53, 4syl 14 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
6 elfzo2 9451 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿))
7 eluz2 8920 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥))
8 simprrl 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
98adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11 zre 8650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1312adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1413adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℝ)
15 zre 8650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1615adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
1716adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
1817adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
19 zre 8650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2019adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 letr 7471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → 𝑀𝑥))
2214, 18, 20, 21syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → 𝑀𝑥))
2322imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → 𝑀𝑥)
249, 10, 233jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
2524exp31 356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℤ → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2625com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2726expdimp 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝐾𝑥 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2827impancom 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2928com13 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
30293adant3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑀𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
3130com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
3231adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀𝐾𝐿𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
3332impcom 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
3433com12 30 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
3534adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
3635imp 122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
37 eluz2 8920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
3836, 37sylibr 132 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
39 simpl2r 993 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4039adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4119adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 zre 8650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4342ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
44 zre 8650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4544adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4645adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4746adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
48 ltletr 7477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
4941, 43, 47, 48syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
5049ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → 𝑥 < 𝑁)))
5150com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
52513adant3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
5352expcomd 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐿𝑁 → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
5453adantld 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀𝐾𝐿𝑁) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
5554imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
5655com13 79 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
5756adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
5857imp 122 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 < 𝑁))
5958imp 122 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑥 < 𝑁)
60 elfzo2 9451 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑁))
6138, 40, 59, 60syl3anbrc 1123 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
6261exp31 356 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
63623adant1 957 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
647, 63sylbi 119 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
6564imp 122 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
66653adant2 958 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
676, 66sylbi 119 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
6867com12 30 . . . 4 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
6968ssrdv 3016 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁))
7069ex 113 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀𝐾𝐿𝑁) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁)))
715, 70impbid 127 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920  wcel 1434  wss 2984   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  cr 7252   < clt 7425  cle 7426  cz 8646  cuz 8914  ..^cfzo 9443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-fz 9320  df-fzo 9444
This theorem is referenced by: (None)
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