Theorem subdid 8268

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdid	|- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdi 8239	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1217	1 |- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 2125  (class class class)co 5814   CCcc 7709   x. cmul 7716   - cmin 8025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-setind 4490  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-sub 8027

This theorem is referenced by:  cru  8456  recextlem1  8504  cju  8811  zneo  9244  lincmb01cmp  9885  iccf1o  9886  intfracq  10197  modqlt  10210  modqdi  10269  modqsubdir  10270  subsq  10503  crre  10734  remullem  10748  mulcn2  11186  fsumparts  11344  geosergap  11380  mertensabs  11411  tanval3ap  11588  tanaddap  11613  eirraplem  11650  bezoutlemnewy  11851  cncongr1  11951  dvmulxxbr  13005  tangtx  13098  qdencn  13539