Theorem subdid 8556

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdid	|- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdi 8527	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1271	1 |- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6000   CCcc 7993   x. cmul 8000   - cmin 8313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315

This theorem is referenced by:  muls1d  8560  cru  8745  recextlem1  8794  cju  9104  zneo  9544  lincmb01cmp  10195  iccf1o  10196  intfracq  10537  modqlt  10550  modqdi  10609  modqsubdir  10610  subsq  10863  crre  11363  remullem  11377  mulcn2  11818  fsumparts  11976  geosergap  12012  mertensabs  12043  tanval3ap  12220  tanaddap  12245  eirraplem  12283  bezoutlemnewy  12512  cncongr1  12620  eulerthlemh  12748  prmdiv  12752  prmdiveq  12753  4sqlem10  12905  mul4sqlem  12911  4sqlem17  12925  dvmulxxbr  15370  tangtx  15506  lgseisenlem2  15744  lgsquadlem1  15750  2sqlem4  15791  qdencn  16354