ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climle Unicode version

Theorem climle 11110
Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climadd.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climadd.4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climle.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
climle.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
climle.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
climle.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climle  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Distinct variable groups:    B, k    k, F    ph, k    A, k   
k, G    k, M    k, Z

Proof of Theorem climle
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climle.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
4 zex 9070 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
5 uzssz 9352 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
64, 5ssexi 4066 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
71, 6eqeltri 2212 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
87mptex 5646 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j ) ) )  e.  _V
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) )  e.  _V )
10 climadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
11 climle.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1211recnd 7801 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
13 climle.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1413recnd 7801 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
15 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
1611, 13resubcld 8150 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
)  -  ( F `
 k ) )  e.  RR )
17 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  j )  =  ( G `  k ) )
18 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
1917, 18oveq12d 5792 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( G `  j
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( F `  k ) ) )
20 eqid 2139 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `
 j )  -  ( F `  j ) ) )
2119, 20fvmptg 5497 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j ) ) ) `
 k )  =  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) )
2215, 16, 21syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) ) `  k
)  =  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) ) )
231, 2, 3, 9, 10, 12, 14, 22climsub 11104 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) )  ~~>  ( B  -  A ) )
2422, 16eqeltrd 2216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) ) `  k
)  e.  RR )
25 climle.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
2611, 13subge0d 8304 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
0  <_  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) )  <->  ( F `  k )  <_  ( G `  k )
) )
2725, 26mpbird 166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) )
2827, 22breqtrrd 3956 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( j  e.  Z  |->  ( ( G `
 j )  -  ( F `  j ) ) ) `  k
) )
291, 2, 23, 24, 28climge0 11101 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  -  A ) )
301, 2, 3, 11climrecl 11100 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
311, 2, 10, 13climrecl 11100 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3230, 31subge0d 8304 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( B  -  A )  <->  A  <_  B ) )
3329, 32mpbid 146 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7626   0cc0 7627    <_ cle 7808    - cmin 7940   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333    ~~> cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055
This theorem is referenced by:  climlec2  11117  iserle  11118  iserabs  11251  cvgcmpub  11252
  Copyright terms: Public domain W3C validator