Theorem climle 11480

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climadd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climadd.4	|- ( ph -> F ~~> A )
climle.5	|- ( ph -> G ~~> B )
climle.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
climle.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
climle.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climle	|- ( ph -> A <_ B )

Distinct variable groups:   B, k   k, F   ph, k   A, k   k, G   k, M   k, Z

Proof of Theorem climle

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climadd.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climle.5	. . . 4 |- ( ph -> G ~~> B )
4		zex 9329	. . . . . . . 8 |- ZZ e. _V
5		uzssz 9615	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
6	4, 5	ssexi 4168	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
7	1, 6	eqeltri 2266	. . . . . 6 |- Z e. _V
8	7	mptex 5785	. . . . 5 |- ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) e. _V
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) e. _V )
10		climadd.4	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
11		climle.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
12	11	recnd 8050	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
13		climle.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
14	13	recnd 8050	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
15		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
16	11, 13	resubcld 8402	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. RR )
17		fveq2 5555	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
18		fveq2 5555	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
19	17, 18	oveq12d 5937	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
20		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) = ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) )
21	19, 20	fvmptg 5634	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
22	15, 16, 21	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
23	1, 2, 3, 9, 10, 12, 14, 22	climsub 11474	. . 3 |- ( ph -> ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ~~> ( B - A ) )
24	22, 16	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) e. RR )
25		climle.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
26	11, 13	subge0d 8556	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) ) )
27	25, 26	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
28	27, 22	breqtrrd 4058	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) )
29	1, 2, 23, 24, 28	climge0 11471	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( B - A ) )
30	1, 2, 3, 11	climrecl 11470	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
31	1, 2, 10, 13	climrecl 11470	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
32	30, 31	subge0d 8556	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ ( B - A ) <-> A <_ B ) )
33	29, 32	mpbid 147	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   <_ cle 8057   - cmin 8192   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ~~> cli 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425

This theorem is referenced by:  climlec2  11487  iserle  11488  iserabs  11621  cvgcmpub  11622