ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climle Unicode version

Theorem climle 11313
Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climadd.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climadd.4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climle.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
climle.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
climle.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
climle.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climle  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Distinct variable groups:    B, k    k, F    ph, k    A, k   
k, G    k, M    k, Z

Proof of Theorem climle
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climle.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
4 zex 9238 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  _V
5 uzssz 9523 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
64, 5ssexi 4138 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
71, 6eqeltri 2250 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
87mptex 5737 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j ) ) )  e.  _V
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) )  e.  _V )
10 climadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
11 climle.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
1211recnd 7963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
13 climle.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1413recnd 7963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
15 simpr 110 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
1611, 13resubcld 8315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
)  -  ( F `
 k ) )  e.  RR )
17 fveq2 5510 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  j )  =  ( G `  k ) )
18 fveq2 5510 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
1917, 18oveq12d 5886 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( G `  j
)  -  ( F `
 j ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( F `  k ) ) )
20 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `
 j )  -  ( F `  j ) ) )
2119, 20fvmptg 5587 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j ) ) ) `
 k )  =  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) )
2215, 16, 21syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) ) `  k
)  =  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) ) )
231, 2, 3, 9, 10, 12, 14, 22climsub 11307 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) )  ~~>  ( B  -  A ) )
2422, 16eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( G `  j )  -  ( F `  j )
) ) `  k
)  e.  RR )
25 climle.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
2611, 13subge0d 8469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
0  <_  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) )  <->  ( F `  k )  <_  ( G `  k )
) )
2725, 26mpbird 167 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) )
2827, 22breqtrrd 4028 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( j  e.  Z  |->  ( ( G `
 j )  -  ( F `  j ) ) ) `  k
) )
291, 2, 23, 24, 28climge0 11304 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  -  A ) )
301, 2, 3, 11climrecl 11303 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
311, 2, 10, 13climrecl 11303 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3230, 31subge0d 8469 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( B  -  A )  <->  A  <_  B ) )
3329, 32mpbid 147 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   RRcr 7788   0cc0 7789    <_ cle 7970    - cmin 8105   ZZcz 9229   ZZ>=cuz 9504    ~~> cli 11257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-rp 9628  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258
This theorem is referenced by:  climlec2  11320  iserle  11321  iserabs  11454  cvgcmpub  11455
  Copyright terms: Public domain W3C validator