Theorem swrdlend 11430

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlend	|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Proof of Theorem swrdlend

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval 11420	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
3		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> L <_ F )
4		3simpc 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
6		fzon 10574	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( L <_ F <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
8	3, 7	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( F..^ L ) = (/) )
9		0ss 3561	. . . . 5 |- (/) C_ dom W
10	8, 9	eqsstrdi 3300	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( F..^ L ) C_ dom W )
11	10	iftrued 3647	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) = ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) )
12		fzo0n 10575	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
13	12	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) )
14	13	3adantl1 1184	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) )
15	14	mpteq1d 4216	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) = ( i e. (/) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) )
16		mpt0 5511	. . . 4 |- ( i e. (/) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) = (/)
17	15, 16	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) = (/) )
18	2, 11, 17	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) )
19	18	ex 115	1 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   <.cop 3712   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   + caddc 8182   <_ cle 8361   - cmin 8497   ZZcz 9644  ..^cfzo 10549  Word cword 11304   substr csubstr 11417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-substr 11418

This theorem is used by:  swrdnd  11431  swrdsb0eq  11437  swrdccat  11507