Theorem swrdnd 11112

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd	|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Proof of Theorem swrdnd

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orcomb 990	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L \/ L <_ F ) )
2		df-3or 982	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L \/ L <_ F ) <-> ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) \/ L <_ F ) )
3		orcom 730	. . . 4 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) \/ L <_ F ) <-> ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) )
4	1, 2, 3	3bitri 206	. . 3 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) )
5		simp3 1002	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. ZZ )
6		simp2 1001	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F e. ZZ )
7		zdcle 9449	. . . . 5 |- ( ( L e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> DECID L <_ F )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID L <_ F )
9		pm5.63dc 949	. . . 4 |- (DECID L <_ F -> ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
11	4, 10	bitrid 192	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
12		swrdlend 11111	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
13	12	com12 30	. . . 4 |- ( L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
14		swrdval 11101	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
16		0z 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. ZZ
17		zltnle 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ZZ -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
19	18	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
20		lencl 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
21	20	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. ZZ )
23		zltnle 9418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (♯ ` W ) < L <-> -. L <_ (♯ ` W ) ) )
24	22, 5, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (♯ ` W ) < L <-> -. L <_ (♯ ` W ) ) )
25	19, 24	orbi12d 795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
26	25	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) )
29		pm3.14 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) )
31		3simpc 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
32	20	nn0zd 9493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. ZZ )
33	32, 16	jctil 312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) )
34	33	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) )
35		zltnle 9418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
36	35	3adant1 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
37	36	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> F < L )
40		ssfzo12bi 10354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) ) )
41	31, 34, 39, 40	syl2an23an 1312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) ) )
42	30, 41	mtbird 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
43		wrddm 11002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
44	43	sseq2d 3223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( ( F..^ L ) C_ dom W <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
45	44	notbid 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. Word V -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
46	45	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
48	42, 47	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom W )
49	48	iffalsed 3581	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
50	15, 49	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) )
51	50	exp31 364	. . . . 5 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) ) )
52	51	impcom 125	. . . 4 |- ( ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
53	13, 52	jaoi 718	. . 3 |- ( ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
54	53	com12 30	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
55	11, 54	sylbid 150	1 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   \/ w3o 980   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ifcif 3571   <.cop 3636   class class class wbr 4044   |-> cmpt 4105   dom cdm 4675   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   0cc0 7925   + caddc 7928   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   NN0cn0 9295   ZZcz 9372  ..^cfzo 10264  ♯chash 10920  Word cword 10994   substr csubstr 11098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-ihash 10921  df-word 10995  df-substr 11099

This theorem is referenced by: (None)