Theorem swrdnd 11186

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd	|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Proof of Theorem swrdnd

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orcomb 1011	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L \/ L <_ F ) )
2		df-3or 1003	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L \/ L <_ F ) <-> ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) \/ L <_ F ) )
3		orcom 733	. . . 4 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) \/ L <_ F ) <-> ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) )
4	1, 2, 3	3bitri 206	. . 3 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) )
5		simp3 1023	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. ZZ )
6		simp2 1022	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F e. ZZ )
7		zdcle 9519	. . . . 5 |- ( ( L e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> DECID L <_ F )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID L <_ F )
9		pm5.63dc 952	. . . 4 |- (DECID L <_ F -> ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
11	4, 10	bitrid 192	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
12		swrdlend 11185	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
13	12	com12 30	. . . 4 |- ( L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
14		swrdval 11175	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
16		0z 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. ZZ
17		zltnle 9488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ZZ -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
19	18	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
20		lencl 11070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
21	20	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. ZZ )
23		zltnle 9488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (♯ ` W ) < L <-> -. L <_ (♯ ` W ) ) )
24	22, 5, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (♯ ` W ) < L <-> -. L <_ (♯ ` W ) ) )
25	19, 24	orbi12d 798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
26	25	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) )
29		pm3.14 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) )
31		3simpc 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
32	20	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. ZZ )
33	32, 16	jctil 312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) )
34	33	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) )
35		zltnle 9488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
36	35	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
37	36	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> F < L )
40		ssfzo12bi 10426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) ) )
41	31, 34, 39, 40	syl2an23an 1333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) ) )
42	30, 41	mtbird 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
43		wrddm 11074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
44	43	sseq2d 3254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( ( F..^ L ) C_ dom W <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
45	44	notbid 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. Word V -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
46	45	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
48	42, 47	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom W )
49	48	iffalsed 3612	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
50	15, 49	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) )
51	50	exp31 364	. . . . 5 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) ) )
52	51	impcom 125	. . . 4 |- ( ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
53	13, 52	jaoi 721	. . 3 |- ( ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
54	53	com12 30	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
55	11, 54	sylbid 150	1 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   \/ w3o 1001   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   <.cop 3669   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   dom cdm 4718   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   0cc0 7995   + caddc 7998   < clt 8177   <_ cle 8178   - cmin 8313   NN0cn0 9365   ZZcz 9442  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066   substr csubstr 11172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-substr 11173

This theorem is referenced by:  pfxnd  11216  pfxwrdsymbg  11217