Theorem swrdnd 11453

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd	|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Proof of Theorem swrdnd

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orcomb 1018	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L \/ L <_ F ) )
2		df-3or 1010	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L \/ L <_ F ) <-> ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) \/ L <_ F ) )
3		orcom 740	. . . 4 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) \/ L <_ F ) <-> ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) )
4	1, 2, 3	3bitri 206	. . 3 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) )
5		simp3 1030	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. ZZ )
6		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F e. ZZ )
7		zdcle 9732	. . . . 5 |- ( ( L e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> DECID L <_ F )
8	5, 6, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID L <_ F )
9		pm5.63dc 959	. . . 4 |- (DECID L <_ F -> ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
11	4, 10	bitrid 192	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
12		swrdlend 11452	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
13	12	com12 30	. . . 4 |- ( L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
14		swrdval 11442	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
16		0z 9666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. ZZ
17		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
18	16, 17	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ZZ -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
19	18	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
20		lencl 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
21	20	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. ZZ )
23		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (♯ ` W ) < L <-> -. L <_ (♯ ` W ) ) )
24	22, 5, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (♯ ` W ) < L <-> -. L <_ (♯ ` W ) ) )
25	19, 24	orbi12d 805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
26	25	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) )
29		pm3.14 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) )
31		3simpc 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
32	20	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. ZZ )
33	32, 16	jctil 312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) )
34	33	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) )
35		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
36	35	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
37	36	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> F < L )
40		ssfzo12bi 10660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) ) )
41	31, 34, 39, 40	syl2an23an 1340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) ) )
42	30, 41	mtbird 684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
43		wrddm 11334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
44	43	sseq2d 3278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( ( F..^ L ) C_ dom W <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
45	44	notbid 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. Word V -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
46	45	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
48	42, 47	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom W )
49	48	iffalsed 3650	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
50	15, 49	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) )
51	50	exp31 364	. . . . 5 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) ) )
52	51	impcom 125	. . . 4 |- ( ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
53	13, 52	jaoi 728	. . 3 |- ( ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
54	53	com12 30	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
55	11, 54	sylbid 150	1 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   <.cop 3712   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   dom cdm 4776   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   NN0cn0 9574   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326   substr csubstr 11439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-substr 11440

This theorem is used by:  pfxnd  11483  pfxwrdsymbg  11484