Theorem swrdnd 11376

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd	|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Proof of Theorem swrdnd

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orcomb 1014	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L \/ L <_ F ) )
2		df-3or 1006	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L \/ L <_ F ) <-> ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) \/ L <_ F ) )
3		orcom 736	. . . 4 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) \/ L <_ F ) <-> ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) )
4	1, 2, 3	3bitri 206	. . 3 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) )
5		simp3 1026	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> L e. ZZ )
6		simp2 1025	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F e. ZZ )
7		zdcle 9671	. . . . 5 |- ( ( L e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> DECID L <_ F )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID L <_ F )
9		pm5.63dc 955	. . . 4 |- (DECID L <_ F -> ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
11	4, 10	bitrid 192	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) ) )
12		swrdlend 11375	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
13	12	com12 30	. . . 4 |- ( L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
14		swrdval 11365	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
16		0z 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. ZZ
17		zltnle 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ZZ -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
19	18	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
20		lencl 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
21	20	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
22	21	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. ZZ )
23		zltnle 9640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (♯ ` W ) < L <-> -. L <_ (♯ ` W ) ) )
24	22, 5, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (♯ ` W ) < L <-> -. L <_ (♯ ` W ) ) )
25	19, 24	orbi12d 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) <-> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
26	25	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) )
29		pm3.14 761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ (♯ ` W ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) )
31		3simpc 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
32	20	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. ZZ )
33	32, 16	jctil 312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) )
34	33	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) )
35		zltnle 9640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
36	35	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
37	36	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> F < L )
40		ssfzo12bi 10592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) ) )
41	31, 34, 39, 40	syl2an23an 1336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ (♯ ` W ) ) ) )
42	30, 41	mtbird 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
43		wrddm 11257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
44	43	sseq2d 3272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( ( F..^ L ) C_ dom W <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
45	44	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. Word V -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
46	45	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
48	42, 47	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom W )
49	48	iffalsed 3636	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
50	15, 49	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) )
51	50	exp31 364	. . . . 5 |- ( ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) ) )
52	51	impcom 125	. . . 4 |- ( ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
53	13, 52	jaoi 724	. . 3 |- ( ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
54	53	com12 30	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( L <_ F \/ ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ (♯ ` W ) < L ) ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
55	11, 54	sylbid 150	1 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ (♯ ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ifcif 3624   <.cop 3697   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   dom cdm 4754   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   NN0cn0 9513   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   substr csubstr 11362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-substr 11363

This theorem is referenced by:  pfxnd  11406  pfxwrdsymbg  11407