Theorem umgrnloopv 15930

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloopv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Proof of Theorem umgrnloopv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁})
2		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
3		umgruhgr 15929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
4		umgrnloopv.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
5	4	uhgrfun 15893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
6		funrel 5335	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐸 → Rel 𝐸)
7	3, 5, 6	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Rel 𝐸)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → Rel 𝐸)
9		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ∈ 𝑊)
10		prid1g 3770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑊 → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
12		eleq2 2293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁}))
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁}))
14	11, 13	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋))
15	1, 9, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋))
16		relelfvdm 5661	. . . . . 6 ⊢ ((Rel 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐸)
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑋 ∈ dom 𝐸)
18		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
19	18, 4	umgredg2en 15925	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
20	2, 17, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
21	1, 20	eqbrtrrd 4107	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ≈ 2o)
22		pr2cv 7381	. . . 4 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
23		pr2ne 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
24	21, 22, 23	3syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
25	21, 24	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ≠ 𝑁)
26	25	ex 115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2799  {cpr 3667   class class class wbr 4083  dom cdm 4719  Rel wrel 4724  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318  2_oc2o 6562   ≈ cen 6893  Vtxcvtx 15829  iEdgciedg 15830  UHGraphcuhgr 15883  UMGraphcumgr 15908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-edgf 15822  df-vtx 15831  df-iedg 15832  df-uhgrm 15885  df-upgren 15909  df-umgren 15910

This theorem is referenced by:  umgrnloop  15932  usgrnloopv  16015