Theorem umgrnloopv 16126

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloopv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Proof of Theorem umgrnloopv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁})
2		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
3		umgruhgr 16125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
4		umgrnloopv.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
5	4	uhgrfun 16089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
6		funrel 5371	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐸 → Rel 𝐸)
7	3, 5, 6	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Rel 𝐸)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → Rel 𝐸)
9		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ∈ 𝑊)
10		prid1g 3797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑊 → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
12		eleq2 2298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁}))
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁}))
14	11, 13	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋))
15	1, 9, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋))
16		relelfvdm 5704	. . . . . 6 ⊢ ((Rel 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐸)
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑋 ∈ dom 𝐸)
18		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
19	18, 4	umgredg2en 16121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
20	2, 17, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
21	1, 20	eqbrtrrd 4135	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ≈ 2o)
22		pr2cv 7496	. . . 4 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
23		pr2ne 7491	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
24	21, 22, 23	3syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
25	21, 24	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ≠ 𝑁)
26	25	ex 115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  Vcvv 2815  {cpr 3692   class class class wbr 4111  dom cdm 4751  Rel wrel 4756  Fun wfun 5348  ‘cfv 5354  2_oc2o 6643   ≈ cen 6975  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UHGraphcuhgr 16079  UMGraphcumgr 16104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-sub 8448  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-dec 9713  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-uhgrm 16081  df-upgren 16105  df-umgren 16106

This theorem is referenced by:  umgrnloop  16128  usgrnloopv  16213