Theorem umgrnloopv 15958

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloopv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Proof of Theorem umgrnloopv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁})
2		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
3		umgruhgr 15957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
4		umgrnloopv.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
5	4	uhgrfun 15921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
6		funrel 5341	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐸 → Rel 𝐸)
7	3, 5, 6	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Rel 𝐸)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → Rel 𝐸)
9		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ∈ 𝑊)
10		prid1g 3773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑊 → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
12		eleq2 2293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁}))
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁}))
14	11, 13	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋))
15	1, 9, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋))
16		relelfvdm 5667	. . . . . 6 ⊢ ((Rel 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ (𝐸‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐸)
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑋 ∈ dom 𝐸)
18		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
19	18, 4	umgredg2en 15953	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
20	2, 17, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → (𝐸‘𝑋) ≈ 2o)
21	1, 20	eqbrtrrd 4110	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → {𝑀, 𝑁} ≈ 2o)
22		pr2cv 7396	. . . 4 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
23		pr2ne 7391	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
24	21, 22, 23	3syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ≈ 2o ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
25	21, 24	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀 ≠ 𝑁)
26	25	ex 115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2800  {cpr 3668   class class class wbr 4086  dom cdm 4723  Rel wrel 4728  Fun wfun 5318  ‘cfv 5324  2_oc2o 6571   ≈ cen 6902  Vtxcvtx 15856  iEdgciedg 15857  UHGraphcuhgr 15911  UMGraphcumgr 15936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-uhgrm 15913  df-upgren 15937  df-umgren 15938

This theorem is referenced by:  umgrnloop  15960  usgrnloopv  16045