Theorem usgr1e 16365

Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that B =/= C since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	|- V = (Vtx ` G )
uspgr1e.a	|- ( ph -> A e. X )
uspgr1e.b	|- ( ph -> B e. V )
uspgr1e.c	|- ( ph -> C e. V )
uspgr1e.e	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
usgr1e.e	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
usgr1e	|- ( ph -> G e. USGraph )

Proof of Theorem usgr1e

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		uspgr1e.a	. . 3 |- ( ph -> A e. X )
3		uspgr1e.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		uspgr1e.c	. . 3 |- ( ph -> C e. V )
5		uspgr1e.e	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
6		usgr1e.e	. . . . 5 |- ( ph -> B =/= C )
7	6	olcd 742	. . . 4 |- ( ph -> ( B = C \/ B =/= C ) )
8		dcne 2425	. . . 4 |- (DECID B = C <-> ( B = C \/ B =/= C ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> DECID B = C )
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	uspgr1edc 16364	. 2 |- ( ph -> G e. USPGraph )
11		pr2ne 7502	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> ( { B , C } ~~ 2o <-> B =/= C ) )
12	3, 4, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( { B , C } ~~ 2o <-> B =/= C ) )
13	6, 12	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> { B , C } ~~ 2o )
14		prexg 4330	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { B , C } e. _V )
16		breq1 4117	. . . . . 6 |- ( x = { B , C } -> ( x ~~ 2o <-> { B , C } ~~ 2o ) )
17	16	ralsng 3734	. . . . 5 |- ( { B , C } e. _V -> ( A. x e. { { B , C } } x ~~ 2o <-> { B , C } ~~ 2o ) )
18	15, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. { { B , C } } x ~~ 2o <-> { B , C } ~~ 2o ) )
19	13, 18	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> A. x e. { { B , C } } x ~~ 2o )
20		edgvalg 16183	. . . . 5 |- ( G e. USPGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
21	10, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
22	5	rneqd 4991	. . . 4 |- ( ph -> ran (iEdg ` G ) = ran { <. A , { B , C } >. } )
23		rnsnopg 5246	. . . . 5 |- ( A e. X -> ran { <. A , { B , C } >. } = { { B , C } } )
24	2, 23	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ran { <. A , { B , C } >. } = { { B , C } } )
25	21, 22, 24	3eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> (Edg ` G ) = { { B , C } } )
26	19, 25	raleqtrrdv 2753	. 2 |- ( ph -> A. x e. (Edg ` G ) x ~~ 2o )
27		usgruspgrben 16310	. 2 |- ( G e. USGraph <-> ( G e. USPGraph /\ A. x e. (Edg ` G ) x ~~ 2o ) )
28	10, 26, 27	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G e. USGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   _Vcvv 2815   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697   class class class wbr 4114   ran crn 4755   ` cfv 5357   2oc2o 6654   ~~ cen 6986  Vtxcvtx 16136  iEdgciedg 16137  Edgcedg 16181  USPGraphcuspgr 16277  USGraphcusgr 16278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-sub 8463  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-dec 9731  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-edgf 16129  df-vtx 16138  df-iedg 16139  df-edg 16182  df-uspgren 16279  df-usgren 16280

This theorem is referenced by:  usgr1eop  16369