Theorem usgr1e 16285

Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that B =/= C since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	|- V = (Vtx ` G )
uspgr1e.a	|- ( ph -> A e. X )
uspgr1e.b	|- ( ph -> B e. V )
uspgr1e.c	|- ( ph -> C e. V )
uspgr1e.e	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
usgr1e.e	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
usgr1e	|- ( ph -> G e. USGraph )

Proof of Theorem usgr1e

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		uspgr1e.a	. . 3 |- ( ph -> A e. X )
3		uspgr1e.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		uspgr1e.c	. . 3 |- ( ph -> C e. V )
5		uspgr1e.e	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { B , C } >. } )
6		usgr1e.e	. . . . 5 |- ( ph -> B =/= C )
7	6	olcd 742	. . . 4 |- ( ph -> ( B = C \/ B =/= C ) )
8		dcne 2425	. . . 4 |- (DECID B = C <-> ( B = C \/ B =/= C ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> DECID B = C )
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	uspgr1edc 16284	. 2 |- ( ph -> G e. USPGraph )
11		pr2ne 7491	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> ( { B , C } ~~ 2o <-> B =/= C ) )
12	3, 4, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( { B , C } ~~ 2o <-> B =/= C ) )
13	6, 12	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> { B , C } ~~ 2o )
14		prexg 4327	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { B , C } e. _V )
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { B , C } e. _V )
16		breq1 4114	. . . . . 6 |- ( x = { B , C } -> ( x ~~ 2o <-> { B , C } ~~ 2o ) )
17	16	ralsng 3731	. . . . 5 |- ( { B , C } e. _V -> ( A. x e. { { B , C } } x ~~ 2o <-> { B , C } ~~ 2o ) )
18	15, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. { { B , C } } x ~~ 2o <-> { B , C } ~~ 2o ) )
19	13, 18	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> A. x e. { { B , C } } x ~~ 2o )
20		edgvalg 16103	. . . . 5 |- ( G e. USPGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
21	10, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
22	5	rneqd 4988	. . . 4 |- ( ph -> ran (iEdg ` G ) = ran { <. A , { B , C } >. } )
23		rnsnopg 5243	. . . . 5 |- ( A e. X -> ran { <. A , { B , C } >. } = { { B , C } } )
24	2, 23	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ran { <. A , { B , C } >. } = { { B , C } } )
25	21, 22, 24	3eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> (Edg ` G ) = { { B , C } } )
26	19, 25	raleqtrrdv 2753	. 2 |- ( ph -> A. x e. (Edg ` G ) x ~~ 2o )
27		usgruspgrben 16230	. 2 |- ( G e. USGraph <-> ( G e. USPGraph /\ A. x e. (Edg ` G ) x ~~ 2o ) )
28	10, 26, 27	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G e. USGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   _Vcvv 2815   {csn 3691   {cpr 3692   <.cop 3694   class class class wbr 4111   ran crn 4752   ` cfv 5354   2oc2o 6643   ~~ cen 6975  Vtxcvtx 16056  iEdgciedg 16057  Edgcedg 16101  USPGraphcuspgr 16197  USGraphcusgr 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-sub 8451  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-dec 9716  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-edg 16102  df-uspgren 16199  df-usgren 16200

This theorem is referenced by:  usgr1eop  16289