Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzm1 GIF version

Theorem uzm1 9409
 Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))

Proof of Theorem uzm1
StepHypRef Expression
1 eluzle 9391 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
2 eluzel2 9384 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
32zred 9226 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4 eluzelz 9388 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
54zred 9226 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
63, 5lenltd 7933 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
71, 6mpbid 146 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
8 ztri3or 9150 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
92, 4, 8syl2anc 409 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
10 df-3or 964 . . . . 5 ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
119, 10sylib 121 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
127, 11ecased 1328 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁))
1312orcomd 719 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 = 𝑁𝑀 < 𝑁))
14 eqcom 2143 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁𝑁 = 𝑀)
1514biimpi 119 . . . 4 (𝑀 = 𝑁𝑁 = 𝑀)
1615a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 = 𝑁𝑁 = 𝑀))
17 zltlem1 9164 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
182, 4, 17syl2anc 409 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
19 1zzd 9134 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℤ)
204, 19zsubcld 9231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
21 eluz 9392 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
222, 20, 21syl2anc 409 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
2318, 22bitr4d 190 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2423biimpd 143 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2516, 24orim12d 776 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 = 𝑁𝑀 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))))
2613, 25mpd 13 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∨ w3o 962   = wceq 1332   ∈ wcel 2112   class class class wbr 3939  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  1c1 7674   < clt 7853   ≤ cle 7854   − cmin 7986  ℤcz 9107  ℤ≥cuz 9379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-addcom 7773  ax-addass 7775  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-ltadd 7789 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-id 4226  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-inn 8774  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380 This theorem is referenced by:  uzp1  9412  fzm1  9940  hashfzo  10629  iserex  11169  ntrivcvgap  11378
 Copyright terms: Public domain W3C validator