Theorem uzm1 9517

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9499	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2		eluzel2 9492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	zred 9334	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4		eluzelz 9496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 9334	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	lenltd 8037	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
7	1, 6	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
8		ztri3or 9255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
9	2, 4, 8	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
10		df-3or 974	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
11	9, 10	sylib 121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
12	7, 11	ecased 1344	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁))
13	12	orcomd 724	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑀 < 𝑁))
14		eqcom 2172	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 𝑀)
15	14	biimpi 119	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → 𝑁 = 𝑀)
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 = 𝑁 → 𝑁 = 𝑀))
17		zltlem1 9269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
18	2, 4, 17	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
19		1zzd 9239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℤ)
20	4, 19	zsubcld 9339	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
21		eluz 9500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
22	2, 20, 21	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
23	18, 22	bitr4d 190	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24	23	biimpd 143	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25	16, 24	orim12d 781	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
26	13, 25	mpd 13	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  1c1 7775   < clt 7954   ≤ cle 7955   − cmin 8090  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  uzp1  9520  fzm1  10056  hashfzo  10757  iserex  11302  ntrivcvgap  11511