ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzm1 GIF version

Theorem uzm1 9206
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))

Proof of Theorem uzm1
StepHypRef Expression
1 eluzle 9188 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
2 eluzel2 9181 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
32zred 9025 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4 eluzelz 9185 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
54zred 9025 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
63, 5lenltd 7751 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
71, 6mpbid 146 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
8 ztri3or 8949 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
92, 4, 8syl2anc 406 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
10 df-3or 931 . . . . 5 ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
119, 10sylib 121 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
127, 11ecased 1295 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁))
1312orcomd 689 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 = 𝑁𝑀 < 𝑁))
14 eqcom 2102 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁𝑁 = 𝑀)
1514biimpi 119 . . . 4 (𝑀 = 𝑁𝑁 = 𝑀)
1615a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 = 𝑁𝑁 = 𝑀))
17 zltlem1 8963 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
182, 4, 17syl2anc 406 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
19 1zzd 8933 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℤ)
204, 19zsubcld 9030 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
21 eluz 9189 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
222, 20, 21syl2anc 406 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
2318, 22bitr4d 190 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2423biimpd 143 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2516, 24orim12d 741 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 = 𝑁𝑀 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))))
2613, 25mpd 13 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 104  wo 670  w3o 929   = wceq 1299  wcel 1448   class class class wbr 3875  cfv 5059  (class class class)co 5706  1c1 7501   < clt 7672  cle 7673  cmin 7804  cz 8906  cuz 9176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177
This theorem is referenced by:  uzp1  9209  fzm1  9721  hashfzo  10409  iserex  10947
  Copyright terms: Public domain W3C validator