ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzm1 GIF version

Theorem uzm1 8944
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))

Proof of Theorem uzm1
StepHypRef Expression
1 eluzle 8926 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
2 eluzel2 8919 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
32zred 8764 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4 eluzelz 8923 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
54zred 8764 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
63, 5lenltd 7504 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
71, 6mpbid 145 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
8 ztri3or 8689 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
92, 4, 8syl2anc 403 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
10 df-3or 921 . . . . 5 ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
119, 10sylib 120 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
127, 11ecased 1281 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁))
1312orcomd 681 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 = 𝑁𝑀 < 𝑁))
14 eqcom 2085 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁𝑁 = 𝑀)
1514biimpi 118 . . . 4 (𝑀 = 𝑁𝑁 = 𝑀)
1615a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 = 𝑁𝑁 = 𝑀))
17 zltlem1 8703 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
182, 4, 17syl2anc 403 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
19 1zzd 8673 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℤ)
204, 19zsubcld 8769 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
21 eluz 8927 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
222, 20, 21syl2anc 403 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
2318, 22bitr4d 189 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2423biimpd 142 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2516, 24orim12d 733 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 = 𝑁𝑀 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))))
2613, 25mpd 13 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 103  wo 662  w3o 919   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  1c1 7254   < clt 7425  cle 7426  cmin 7556  cz 8646  cuz 8914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915
This theorem is referenced by:  uzp1  8947  fzm1  9407  hashfzo  10065  iiserex  10551
  Copyright terms: Public domain W3C validator