Theorem uzm1 9765

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9746	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2		eluzel2 9738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	zred 9580	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4		eluzelz 9743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 9580	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	lenltd 8275	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
7	1, 6	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
8		ztri3or 9500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
9	2, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
10		df-3or 1003	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
12	7, 11	ecased 1383	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁))
13	12	orcomd 734	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑀 < 𝑁))
14		eqcom 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 𝑀)
15	14	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → 𝑁 = 𝑀)
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 = 𝑁 → 𝑁 = 𝑀))
17		zltlem1 9515	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
18	2, 4, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
19		1zzd 9484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℤ)
20	4, 19	zsubcld 9585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
21		eluz 9747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
22	2, 20, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
23	18, 22	bitr4d 191	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24	23	biimpd 144	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25	16, 24	orim12d 791	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
26	13, 25	mpd 13	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1c1 8011   < clt 8192   ≤ cle 8193   − cmin 8328  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  uzp1  9768  fzm1  10308  hashfzo  11057  iserex  11866  ntrivcvgap  12075