Theorem uzm1 9206

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9188	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2		eluzel2 9181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	zred 9025	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4		eluzelz 9185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 9025	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	lenltd 7751	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
7	1, 6	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
8		ztri3or 8949	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
9	2, 4, 8	syl2anc 406	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
10		df-3or 931	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
11	9, 10	sylib 121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁) ∨ 𝑁 < 𝑀))
12	7, 11	ecased 1295	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁))
13	12	orcomd 689	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑀 < 𝑁))
14		eqcom 2102	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 𝑀)
15	14	biimpi 119	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → 𝑁 = 𝑀)
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 = 𝑁 → 𝑁 = 𝑀))
17		zltlem1 8963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
18	2, 4, 17	syl2anc 406	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
19		1zzd 8933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 1 ∈ ℤ)
20	4, 19	zsubcld 9030	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
21		eluz 9189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
22	2, 20, 21	syl2anc 406	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
23	18, 22	bitr4d 190	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24	23	biimpd 143	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25	16, 24	orim12d 741	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
26	13, 25	mpd 13	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 670   ∨ w3o 929   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  1c1 7501   < clt 7672   ≤ cle 7673   − cmin 7804  ℤcz 8906  ℤ_≥cuz 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177

This theorem is referenced by:  uzp1  9209  fzm1  9721  hashfzo  10409  iserex  10947