Theorem wlkpropg 16770

Description: Properties of a walk. (Contributed by AV, 5-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wksfval.v	|- V = (Vtx ` G )
wksfval.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
wlkpropg	|- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, G   k, F   P, k

Allowed substitution hints:   I( k)   V( k)   W( k)

Proof of Theorem wlkpropg

Dummy variables f p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> G e. W )
2		wksfval.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
3		wksfval.i	. . . . . . . 8 |- I = (iEdg ` G )
4	2, 3	wksfval 16768	. . . . . . 7 |- ( G e. W -> (Walks ` G ) = { <. f , p >. | ( f e. Word dom I /\ p : ( 0 ... (♯ ` f ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` f ) )if- ( ( p ` k ) = ( p ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( f ` k ) ) = { ( p ` k ) } , { ( p ` k ) , ( p ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( f ` k ) ) ) ) } )
5	4	breqd 4142	. . . . . 6 |- ( G e. W -> ( F (Walks ` G ) P <-> F { <. f , p >. | ( f e. Word dom I /\ p : ( 0 ... (♯ ` f ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` f ) )if- ( ( p ` k ) = ( p ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( f ` k ) ) = { ( p ` k ) } , { ( p ` k ) , ( p ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( f ` k ) ) ) ) } P ) )
6		brabv 4909	. . . . . 6 |- ( F { <. f , p >. | ( f e. Word dom I /\ p : ( 0 ... (♯ ` f ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` f ) )if- ( ( p ` k ) = ( p ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( f ` k ) ) = { ( p ` k ) } , { ( p ` k ) , ( p ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( f ` k ) ) ) ) } P -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
7	5, 6	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( G e. W -> ( F (Walks ` G ) P -> ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
8	7	imp 124	. . . 4 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
9	8	simpld 112	. . 3 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> F e. _V )
10	8	simprd 114	. . 3 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> P e. _V )
11	1, 9, 10	3jca 1208	. 2 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> ( G e. W /\ F e. _V /\ P e. _V ) )
12		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> F (Walks ` G ) P )
13	2, 3	iswlk 16769	. . 3 |- ( ( G e. W /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> ( F (Walks ` G ) P <-> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
14	13	biimpd 144	. 2 |- ( ( G e. W /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> ( F (Walks ` G ) P -> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
15	11, 12, 14	sylc 62	1 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104  if-wif 990   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {csn 3709   {cpr 3710   class class class wbr 4131   {copab 4192   dom cdm 4776   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   ...cfz 10428  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  Walkscwlks 16763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-wlks 16764

This theorem is used by:  wlkprop  16773  wlkfg  16777  wlkpg  16781