Theorem wlkpropg 16248

Description: Properties of a walk. (Contributed by AV, 5-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wksfval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkpropg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem wlkpropg

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		wksfval.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		wksfval.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	wksfval 16246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (Walks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))))})
5	4	breqd 4104	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))))}𝑃))
6		brabv 4863	. . . . . 6 ⊢ (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑓))if-((𝑝‘𝑘) = (𝑝‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = {(𝑝‘𝑘)}, {(𝑝‘𝑘), (𝑝‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))))}𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
7	5, 6	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
8	7	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝐹 ∈ V)
10	8	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝑃 ∈ V)
11	1, 9, 10	3jca 1204	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
12		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13	2, 3	iswlk 16247	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
14	13	biimpd 144	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
15	11, 12, 14	sylc 62	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  if-wif 986   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  {csn 3673  {cpr 3674   class class class wbr 4093  {copab 4154  dom cdm 4731  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078  ...cfz 10288  ..^cfzo 10422  ♯chash 11083  Word cword 11162  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  Walkscwlks 16241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-wlks 16242

This theorem is referenced by:  wlkprop  16251  wlkfg  16255  wlkpg  16259