Theorem wrdeqs1cat 11515

Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1cat	|- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) )

Proof of Theorem wrdeqs1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W e. Word A )
2		wrdfin 11346	. . . 4 |- ( W e. Word A -> W e. Fin )
3		1elfz0hash 11270	. . . 4 |- ( ( W e. Fin /\ W =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
4	2, 3	sylan 283	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
5		lennncl 11347	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) e. NN )
6	5	nnnn0d 9632	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
7		eluzfz2 10454	. . . . 5 |- ( (♯ ` W ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
8		nn0uz 9974	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
9	7, 8	eleq2s 2333	. . . 4 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
10	6, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
11		ccatpfx 11496	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ 1 e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W prefix 1 ) ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) = ( W prefix (♯ ` W ) ) )
12	1, 4, 10, 11	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( ( W prefix 1 ) ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) = ( W prefix (♯ ` W ) ) )
13		pfx1 11498	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( W prefix 1 ) = <" ( W ` 0 ) "> )
14	13	oveq1d 6103	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( ( W prefix 1 ) ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) )
15		pfxid 11481	. . 3 |- ( W e. Word A -> ( W prefix (♯ ` W ) ) = W )
16	15	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( W prefix (♯ ` W ) ) = W )
17	12, 14, 16	3eqtr3rd 2280	1 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   <.cop 3712   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7027   0cc0 8186   1c1 8187   NN0cn0 9575   ZZ>=cuz 9938   ...cfz 10429  ♯chash 11237  Word cword 11327   ++ cconcat 11381   <"cs1 11406   substr csubstr 11440   prefix cpfx 11467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-ihash 11238  df-word 11328  df-concat 11382  df-s1 11407  df-substr 11441  df-pfx 11468

This theorem is used by: (None)