Theorem wrdeqs1cat 11260

Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1cat	|- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) )

Proof of Theorem wrdeqs1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W e. Word A )
2		wrdfin 11098	. . . 4 |- ( W e. Word A -> W e. Fin )
3		1elfz0hash 11036	. . . 4 |- ( ( W e. Fin /\ W =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
4	2, 3	sylan 283	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
5		lennncl 11099	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) e. NN )
6	5	nnnn0d 9430	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
7		eluzfz2 10236	. . . . 5 |- ( (♯ ` W ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
8		nn0uz 9765	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
9	7, 8	eleq2s 2324	. . . 4 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
10	6, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
11		ccatpfx 11241	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ 1 e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W prefix 1 ) ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) = ( W prefix (♯ ` W ) ) )
12	1, 4, 10, 11	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( ( W prefix 1 ) ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) = ( W prefix (♯ ` W ) ) )
13		pfx1 11243	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( W prefix 1 ) = <" ( W ` 0 ) "> )
14	13	oveq1d 6022	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( ( W prefix 1 ) ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) )
15		pfxid 11226	. . 3 |- ( W e. Word A -> ( W prefix (♯ ` W ) ) = W )
16	15	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( W prefix (♯ ` W ) ) = W )
17	12, 14, 16	3eqtr3rd 2271	1 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3491   <.cop 3669   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   0cc0 8007   1c1 8008   NN0cn0 9377   ZZ>=cuz 9730   ...cfz 10212  ♯chash 11005  Word cword 11079   ++ cconcat 11133   <"cs1 11156   substr csubstr 11185   prefix cpfx 11212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-ihash 11006  df-word 11080  df-concat 11134  df-s1 11157  df-substr 11186  df-pfx 11213

This theorem is referenced by: (None)