Theorem wrdeqs1cat 11238

Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1cat	|- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) )

Proof of Theorem wrdeqs1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W e. Word A )
2		wrdfin 11077	. . . 4 |- ( W e. Word A -> W e. Fin )
3		1elfz0hash 11015	. . . 4 |- ( ( W e. Fin /\ W =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
4	2, 3	sylan 283	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
5		lennncl 11078	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) e. NN )
6	5	nnnn0d 9410	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
7		eluzfz2 10216	. . . . 5 |- ( (♯ ` W ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
8		nn0uz 9745	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
9	7, 8	eleq2s 2324	. . . 4 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
10	6, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
11		ccatpfx 11219	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ 1 e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ (♯ ` W ) e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> ( ( W prefix 1 ) ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) = ( W prefix (♯ ` W ) ) )
12	1, 4, 10, 11	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( ( W prefix 1 ) ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) = ( W prefix (♯ ` W ) ) )
13		pfx1 11221	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( W prefix 1 ) = <" ( W ` 0 ) "> )
14	13	oveq1d 6009	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( ( W prefix 1 ) ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) )
15		pfxid 11204	. . 3 |- ( W e. Word A -> ( W prefix (♯ ` W ) ) = W )
16	15	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( W prefix (♯ ` W ) ) = W )
17	12, 14, 16	3eqtr3rd 2271	1 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , (♯ ` W ) >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3491   <.cop 3669   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Fincfn 6877   0cc0 7987   1c1 7988   NN0cn0 9357   ZZ>=cuz 9710   ...cfz 10192  ♯chash 10984  Word cword 11058   ++ cconcat 11111   <"cs1 11134   substr csubstr 11163   prefix cpfx 11190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-ihash 10985  df-word 11059  df-concat 11112  df-s1 11135  df-substr 11164  df-pfx 11191

This theorem is referenced by: (None)