Theorem wrdeqs1cat 11305

Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1cat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))

Proof of Theorem wrdeqs1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2		wrdfin 11136	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 ∈ Fin)
3		1elfz0hash 11071	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4	2, 3	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5		lennncl 11137	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 9455	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		eluzfz2 10267	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8		nn0uz 9791	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleq2s 2326	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
10	6, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11		ccatpfx 11286	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 1) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
12	1, 4, 10, 11	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix 1) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 prefix (♯‘𝑊)))
13		pfx1 11288	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix 1) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
14	13	oveq1d 6033	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix 1) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))
15		pfxid 11271	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
16	15	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
17	12, 14, 16	3eqtr3rd 2273	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∅c0 3494  ⟨cop 3672  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Fincfn 6909  0cc0 8032  1c1 8033  ℕ₀cn0 9402  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  ♯chash 11038  Word cword 11117   ++ cconcat 11171  ⟨“cs1 11196   substr csubstr 11230   prefix cpfx 11257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-concat 11172  df-s1 11197  df-substr 11231  df-pfx 11258

This theorem is referenced by: (None)