ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser0 GIF version

Theorem ser0 10294
Description: The value of the partial sums in a zero-valued infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
ser0 (𝑁𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem ser0
Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 7910 . . 3 (0 + 0) = 0
21a1i 9 . 2 (𝑁𝑍 → (0 + 0) = 0)
3 ser0.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
43eleq2i 2206 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54biimpi 119 . 2 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 0cn 7765 . . 3 0 ∈ ℂ
7 elfzuz 9809 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
87, 3eleqtrrdi 2233 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑍)
98adantl 275 . . 3 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘𝑍)
10 fvconst2g 5634 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
116, 9, 10sylancr 410 . 2 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
12 0cnd 7766 . 2 (𝑁𝑍 → 0 ∈ ℂ)
133eleq2i 2206 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1413biimpri 132 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1514adantl 275 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘𝑍)
166, 15, 10sylancr 410 . . 3 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
1716, 6eqeltrdi 2230 . 2 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
18 addcl 7752 . . 3 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
1918adantl 275 . 2 ((𝑁𝑍 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
202, 5, 11, 12, 17, 19seq3id3 10287 1 (𝑁𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑁) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  {csn 3527   × cxp 4537  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  0cc0 7627   + caddc 7630  cuz 9333  ...cfz 9797  seqcseq 10225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226
This theorem is referenced by:  ser0f  10295  isumz  11165
  Copyright terms: Public domain W3C validator