Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser0 GIF version

Theorem ser0 10064
 Description: The value of the partial sums in a zero-valued infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
ser0 (𝑁𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem ser0
Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 7720 . . 3 (0 + 0) = 0
21a1i 9 . 2 (𝑁𝑍 → (0 + 0) = 0)
3 ser0.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
43eleq2i 2161 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54biimpi 119 . 2 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 0cn 7577 . . 3 0 ∈ ℂ
7 elfzuz 9585 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
87, 3syl6eleqr 2188 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑍)
98adantl 272 . . 3 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘𝑍)
10 fvconst2g 5550 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
116, 9, 10sylancr 406 . 2 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
12 0cnd 7578 . 2 (𝑁𝑍 → 0 ∈ ℂ)
133eleq2i 2161 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1413biimpri 132 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1514adantl 272 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘𝑍)
166, 15, 10sylancr 406 . . 3 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
1716, 6syl6eqel 2185 . 2 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
18 addcl 7564 . . 3 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
1918adantl 272 . 2 ((𝑁𝑍 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
202, 5, 11, 12, 17, 19seq3id3 10057 1 (𝑁𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑁) = 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  {csn 3466   × cxp 4465  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  0cc0 7447   + caddc 7450  ℤ≥cuz 9118  ...cfz 9573  seqcseq 10000 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-seqfrec 10001 This theorem is referenced by:  ser0f  10065  isumz  10932
 Copyright terms: Public domain W3C validator