Theorem ser0 10991

Description: The value of the partial sums in a zero-valued infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ser0	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem ser0

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8474	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (0 + 0) = 0)
3		ser0.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	3	eleq2i 2305	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		0cn 8324	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		elfzuz 10441	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	7, 3	eleqtrrdi 2332	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑍)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10		fvconst2g 5932	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
11	6, 9, 10	sylancr 418	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
12		0cnd 8325	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 0 ∈ ℂ)
13	3	eleq2i 2305	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14	13	biimpri 133	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	6, 15, 10	sylancr 418	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
17	16, 6	eqeltrdi 2329	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
18		addcl 8310	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
19	18	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
20	2, 5, 11, 12, 17, 19	seq3id3 10982	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709   × cxp 4774  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  0cc0 8185   + caddc 8188  ℤ_≥cuz 9937  ...cfz 10428  seqcseq 10905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906

This theorem is used by:  ser0f  10992  isumz  12181