Theorem ser0 10785

Description: The value of the partial sums in a zero-valued infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ser0	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem ser0

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8310	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (0 + 0) = 0)
3		ser0.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	3	eleq2i 2296	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		0cn 8161	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		elfzuz 10246	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	7, 3	eleqtrrdi 2323	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑍)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10		fvconst2g 5863	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
11	6, 9, 10	sylancr 414	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
12		0cnd 8162	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 0 ∈ ℂ)
13	3	eleq2i 2296	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14	13	biimpri 133	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	6, 15, 10	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
17	16, 6	eqeltrdi 2320	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
18		addcl 8147	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
19	18	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
20	2, 5, 11, 12, 17, 19	seq3id3 10776	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3667   × cxp 4721  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  0cc0 8022   + caddc 8025  ℤ_≥cuz 9745  ...cfz 10233  seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  ser0f  10786  isumz  11940