bcval5 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bcval5 10774

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcval5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5 Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 10761	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 8007	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
6		simpr1 1005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		simpr2 1006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpr3 1007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	mulassd 8010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
10		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0zd 9402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 9403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	11, 13	zsubcld 9409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
15	14	peano2zd 9407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
16		1red 8001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
17	12	nnred 8961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
18	10	nn0red 9259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	12	nnge1d 8991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ≤ 𝐾)
20	16, 17, 18, 19	lesub2dd 8548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1))
21	14	zred 9404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ)
22		leaddsub 8424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
23	21, 16, 18, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
24	20, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
25		eluz2 9563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
26	15, 11, 24, 25	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
27	26	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
28		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
29		nnuz 9592	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
30	28, 29	eleqtrdi 2282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ_≥‘1))
31		fvi 5593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
32	31	elv 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝑘) = 𝑘
33		eluzelcn 9568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
35	32, 34	eqeltrid 2276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
36	5, 9, 27, 30, 35	seq3split 10509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
37		elfzuz3 10051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
39		eluznn 9629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
40	12, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41	40	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		facnn 10738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
44		facnn 10738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
45	28, 44	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
46	45	oveq1d 5910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
47	36, 43, 46	3eqtr4d 2232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
48	47	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
49	10	faccld 10747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 8962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
51	50	mulid2d 8005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
52	40, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
53	52	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54	51, 53	eqtr3d 2224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
55		fveq2 5534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (!‘0))
56		fac0 10739	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = 1)
58		oveq1 5902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = (0 + 1))
59		0p1e1 9062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
60	58, 59	eqtrdi 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = 1)
61	60	seqeq1d 10481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
62	61	fveq1d 5536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
63	57, 62	oveq12d 5913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
64	63	eqeq2d 2201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
65	54, 64	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
66		fznn0sub 10086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
67	66	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
68		elnn0 9207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
69	67, 68	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
70	48, 65, 69	mpjaod 719	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
71	70	oveq1d 5910	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
72		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))
73		fvi 5593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ V → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
74	73	elv 2756	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝑓) = 𝑓
75		eluzelcn 9568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑓 ∈ ℂ)
76	75	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑓 ∈ ℂ)
77	74, 76	eqeltrid 2276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
78		mulcl 7967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
79	78	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
80	72, 15, 77, 79	seqf 10491	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))⟶ℂ)
81	80, 26	ffvelcdmd 5672	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
82	12	nnnn0d 9258	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
83	82	faccld 10747	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
84	83	nncnd 8962	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
85	67	faccld 10747	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
86	85	nncnd 8962	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
87	83	nnap0d 8994	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
88	85	nnap0d 8994	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) # 0)
89	81, 84, 86, 87, 88	divcanap5d 8803	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
90	2, 71, 89	3eqtrd 2226	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
91		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 9258	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
93	92	faccld 10747	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nncnd 8962	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
95	93	nnap0d 8994	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
96	94, 95	div0apd 8773	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
97		mulcl 7967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
98	97	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
99		eluzelcn 9568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
100	99	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
101	32, 100	eqeltrid 2276	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
102		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
103	102	mul02d 8378	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
104	102	mul01d 8379	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
105		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
106		nn0uz 9591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
107	92, 106	eleqtrdi 2282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
108		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
109	108	nn0zd 9402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
110		elfz5 10046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
111	107, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
112		nn0re 9214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
113	112	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
114		nnre 8955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
116	113, 115	subge0d 8521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
117	111, 116	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
118	105, 117	mtbid 673	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾))
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
120	119	nn0zd 9402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
122	121	nnzd 9403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
123	120, 122	zsubcld 9409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
124	123	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
125		0z 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
126		zltnle 9328	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
128	118, 127	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
129		zltp1le 9336	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
130	124, 125, 129	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
131	128, 130	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0)
132		nn0ge0 9230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑁)
133	132	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
134		0zd 9294	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
135	124	peano2zd 9407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
136		elfz 10043	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
137	134, 135, 109, 136	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
138	131, 133, 137	mpbir2and 946	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁))
139		0cn 7978	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
140		fvi 5593	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
141	139, 140	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
142	98, 101, 103, 104, 138, 141	seq3z 10541	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
143	142	oveq1d 5910	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
144		nnz 9301	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
145		bcval3 10762	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
146	144, 145	syl3an2 1283	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
147	146	3expa 1205	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
148	96, 143, 147	3eqtr4rd 2233	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
149		0zd 9294	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
150		fzdcel 10069	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
151	122, 149, 120, 150	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
152		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
153	151, 152	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
154	90, 148, 153	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 DECID wdc 835 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2160 Vcvv 2752 class class class wbr 4018 I cid 4306 ‘cfv 5235 (class class class)co 5895 ℂcc 7838 ℝcr 7839 0cc0 7840 1c1 7841 + caddc 7843 · cmul 7845 < clt 8021 ≤ cle 8022 − cmin 8157 / cdiv 8658 ℕcn 8948 ℕ₀cn0 9205 ℤcz 9282 ℤ_≥cuz 9557 ...cfz 10037 seqcseq 10475 !cfa 10736 Ccbc 10758

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-recs 6329 df-frec 6415 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-inn 8949 df-n0 9206 df-z 9283 df-uz 9558 df-q 9649 df-fz 10038 df-seqfrec 10476 df-fac 10737 df-bc 10759

This theorem is referenced by: bcn2 10775

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