bcval5 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bcval5 11179

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcval5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5 Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 11166	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		simprl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4		simprr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 8336	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
6		simpr1 1034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		simpr2 1035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpr3 1036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	mulassd 8339	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
10		simpll 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	11, 13	zsubcld 9752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
15	14	peano2zd 9750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
16		1red 8331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
17	12	nnred 9296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
18	10	nn0red 9600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	12	nnge1d 9326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ≤ 𝐾)
20	16, 17, 18, 19	lesub2dd 8880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1))
21	14	zred 9747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ)
22		leaddsub 8756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
23	21, 16, 18, 22	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
24	20, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
25		eluz2 9906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
26	15, 11, 24, 25	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
27	26	adantrr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
28		simprr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
29		nnuz 9937	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
30	28, 29	eleqtrdi 2331	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ_≥‘1))
31		fvi 5754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
32	31	elv 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝑘) = 𝑘
33		eluzelcn 9912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
35	32, 34	eqeltrid 2325	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
36	5, 9, 27, 30, 35	seq3split 10903	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
37		elfzuz3 10404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
39		eluznn 9979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
40	12, 38, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41	40	adantrr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		facnn 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
44		facnn 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
45	28, 44	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
46	45	oveq1d 6090	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
47	36, 43, 46	3eqtr4d 2281	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
48	47	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
49	10	faccld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 9297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
51	50	mullidd 8334	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
52	40, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
53	52	oveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54	51, 53	eqtr3d 2273	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
55		fveq2 5690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (!‘0))
56		fac0 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = 1)
58		oveq1 6082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = (0 + 1))
59		0p1e1 9397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
60	58, 59	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = 1)
61	60	seqeq1d 10868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
62	61	fveq1d 5692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
63	57, 62	oveq12d 6093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
64	63	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
65	54, 64	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
66		fznn0sub 10441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
67	66	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
68		elnn0 9544	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
69	67, 68	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
70	48, 65, 69	mpjaod 730	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
71	70	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
72		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))
73		fvi 5754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ V → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
74	73	elv 2825	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝑓) = 𝑓
75		eluzelcn 9912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑓 ∈ ℂ)
76	75	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑓 ∈ ℂ)
77	74, 76	eqeltrid 2325	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
78		mulcl 8296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
79	78	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
80	72, 15, 77, 79	seqf 10879	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))⟶ℂ)
81	80, 26	ffvelcdmd 5835	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
82	12	nnnn0d 9599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
83	82	faccld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
84	83	nncnd 9297	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
85	67	faccld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
86	85	nncnd 9297	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
87	83	nnap0d 9329	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
88	85	nnap0d 9329	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) # 0)
89	81, 84, 86, 87, 88	divcanap5d 9137	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
90	2, 71, 89	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
91		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 9599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
93	92	faccld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nncnd 9297	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
95	93	nnap0d 9329	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
96	94, 95	div0apd 9107	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
97		mulcl 8296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
98	97	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
99		eluzelcn 9912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
100	99	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
101	32, 100	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
102		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
103	102	mul02d 8709	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
104	102	mul01d 8710	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
105		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
106		nn0uz 9936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
107	92, 106	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
108		simpll 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
109	108	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
110		elfz5 10399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
111	107, 109, 110	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
112		nn0re 9551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
113	112	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
114		nnre 9290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
116	113, 115	subge0d 8853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
117	111, 116	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
118	105, 117	mtbid 683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾))
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
120	119	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
122	121	nnzd 9746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
123	120, 122	zsubcld 9752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
124	123	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
125		0z 9634	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
126		zltnle 9669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
127	124, 125, 126	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
128	118, 127	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
129		zltp1le 9678	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
130	124, 125, 129	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
131	128, 130	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0)
132		nn0ge0 9567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑁)
133	132	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
134		0zd 9635	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
135	124	peano2zd 9750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
136		elfz 10396	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
137	134, 135, 109, 136	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
138	131, 133, 137	mpbir2and 957	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁))
139		0cn 8308	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
140		fvi 5754	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
141	139, 140	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
142	98, 101, 103, 104, 138, 141	seq3z 10943	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
143	142	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
144		nnz 9642	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
145		bcval3 11167	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
146	144, 145	syl3an2 1312	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
147	146	3expa 1234	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
148	96, 143, 147	3eqtr4rd 2282	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
149		0zd 9635	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
150		fzdcel 10423	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
151	122, 149, 120, 150	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
152		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
153	151, 152	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
154	90, 148, 153	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 720 DECID wdc 846 ∧ w3a 1009 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 Vcvv 2821 class class class wbr 4125 I cid 4428 ‘cfv 5372 (class class class)co 6075 ℂcc 8167 ℝcr 8168 0cc0 8169 1c1 8170 + caddc 8172 · cmul 8174 < clt 8350 ≤ cle 8351 − cmin 8487 / cdiv 8992 ℕcn 9283 ℕ₀cn0 9542 ℤcz 9623 ℤ_≥cuz 9900 ...cfz 10390 seqcseq 10862 !cfa 11141 Ccbc 11163

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-frec 6652 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-q 9999 df-fz 10391 df-seqfrec 10863 df-fac 11142 df-bc 11164

This theorem is referenced by: bcn2 11180

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