bcval5 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bcval5 10686

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcval5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5 Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 10673	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		simprl 526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4		simprr 527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 7929	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
6		simpr1 998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		simpr2 999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpr3 1000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	mulassd 7932	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
10		simpll 524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0zd 9321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simplr 525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 9322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	11, 13	zsubcld 9328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
15	14	peano2zd 9326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
16		1red 7924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
17	12	nnred 8880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
18	10	nn0red 9178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	12	nnge1d 8910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ≤ 𝐾)
20	16, 17, 18, 19	lesub2dd 8470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1))
21	14	zred 9323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ)
22		leaddsub 8346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
23	21, 16, 18, 22	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
24	20, 23	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
25		eluz2 9482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
26	15, 11, 24, 25	syl3anbrc 1176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
27	26	adantrr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
28		simprr 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
29		nnuz 9511	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
30	28, 29	eleqtrdi 2263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ_≥‘1))
31		fvi 5551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
32	31	elv 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝑘) = 𝑘
33		eluzelcn 9487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
34	33	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
35	32, 34	eqeltrid 2257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
36	5, 9, 27, 30, 35	seq3split 10424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
37		elfzuz3 9967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
38	37	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
39		eluznn 9548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
40	12, 38, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41	40	adantrr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		facnn 10650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
44		facnn 10650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
45	28, 44	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
46	45	oveq1d 5866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
47	36, 43, 46	3eqtr4d 2213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
48	47	expr 373	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
49	10	faccld 10659	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 8881	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
51	50	mulid2d 7927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
52	40, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
53	52	oveq2d 5867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54	51, 53	eqtr3d 2205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
55		fveq2 5494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (!‘0))
56		fac0 10651	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = 1)
58		oveq1 5858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = (0 + 1))
59		0p1e1 8981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
60	58, 59	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = 1)
61	60	seqeq1d 10396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
62	61	fveq1d 5496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
63	57, 62	oveq12d 5869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
64	63	eqeq2d 2182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
65	54, 64	syl5ibrcom 156	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
66		fznn0sub 10002	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
67	66	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
68		elnn0 9126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
69	67, 68	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
70	48, 65, 69	mpjaod 713	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
71	70	oveq1d 5866	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
72		eqid 2170	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))
73		fvi 5551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ V → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
74	73	elv 2734	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝑓) = 𝑓
75		eluzelcn 9487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑓 ∈ ℂ)
76	75	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑓 ∈ ℂ)
77	74, 76	eqeltrid 2257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
78		mulcl 7890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
79	78	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
80	72, 15, 77, 79	seqf 10406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))⟶ℂ)
81	80, 26	ffvelrnd 5630	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
82	12	nnnn0d 9177	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
83	82	faccld 10659	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
84	83	nncnd 8881	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
85	67	faccld 10659	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
86	85	nncnd 8881	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
87	83	nnap0d 8913	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
88	85	nnap0d 8913	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) # 0)
89	81, 84, 86, 87, 88	divcanap5d 8723	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
90	2, 71, 89	3eqtrd 2207	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
91		simplr 525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 9177	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
93	92	faccld 10659	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nncnd 8881	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
95	93	nnap0d 8913	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
96	94, 95	div0apd 8693	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
97		mulcl 7890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
98	97	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
99		eluzelcn 9487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
100	99	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
101	32, 100	eqeltrid 2257	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
102		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
103	102	mul02d 8300	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
104	102	mul01d 8301	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
105		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
106		nn0uz 9510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
107	92, 106	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
108		simpll 524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
109	108	nn0zd 9321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
110		elfz5 9962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
111	107, 109, 110	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
112		nn0re 9133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
113	112	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
114		nnre 8874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
116	113, 115	subge0d 8443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
117	111, 116	bitr4d 190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
118	105, 117	mtbid 667	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾))
119		simpl 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
120	119	nn0zd 9321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
121		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
122	121	nnzd 9322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
123	120, 122	zsubcld 9328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
124	123	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
125		0z 9212	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
126		zltnle 9247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
127	124, 125, 126	sylancl 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
128	118, 127	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
129		zltp1le 9255	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
130	124, 125, 129	sylancl 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
131	128, 130	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0)
132		nn0ge0 9149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑁)
133	132	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
134		0zd 9213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
135	124	peano2zd 9326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
136		elfz 9960	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
137	134, 135, 109, 136	syl3anc 1233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
138	131, 133, 137	mpbir2and 939	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁))
139		0cn 7901	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
140		fvi 5551	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
141	139, 140	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
142	98, 101, 103, 104, 138, 141	seq3z 10456	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
143	142	oveq1d 5866	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
144		nnz 9220	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
145		bcval3 10674	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
146	144, 145	syl3an2 1267	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
147	146	3expa 1198	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
148	96, 143, 147	3eqtr4rd 2214	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
149		0zd 9213	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
150		fzdcel 9985	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
151	122, 149, 120, 150	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
152		exmiddc 831	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
153	151, 152	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
154	90, 148, 153	mpjaodan 793	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∨ wo 703 DECID wdc 829 ∧ w3a 973 = wceq 1348 ∈ wcel 2141 Vcvv 2730 class class class wbr 3987 I cid 4271 ‘cfv 5196 (class class class)co 5851 ℂcc 7761 ℝcr 7762 0cc0 7763 1c1 7764 + caddc 7766 · cmul 7768 < clt 7943 ≤ cle 7944 − cmin 8079 / cdiv 8578 ℕcn 8867 ℕ₀cn0 9124 ℤcz 9201 ℤ_≥cuz 9476 ...cfz 9954 seqcseq 10390 !cfa 10648 Ccbc 10670

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4102 ax-sep 4105 ax-nul 4113 ax-pow 4158 ax-pr 4192 ax-un 4416 ax-setind 4519 ax-iinf 4570 ax-cnex 7854 ax-resscn 7855 ax-1cn 7856 ax-1re 7857 ax-icn 7858 ax-addcl 7859 ax-addrcl 7860 ax-mulcl 7861 ax-mulrcl 7862 ax-addcom 7863 ax-mulcom 7864 ax-addass 7865 ax-mulass 7866 ax-distr 7867 ax-i2m1 7868 ax-0lt1 7869 ax-1rid 7870 ax-0id 7871 ax-rnegex 7872 ax-precex 7873 ax-cnre 7874 ax-pre-ltirr 7875 ax-pre-ltwlin 7876 ax-pre-lttrn 7877 ax-pre-apti 7878 ax-pre-ltadd 7879 ax-pre-mulgt0 7880 ax-pre-mulext 7881

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3526 df-pw 3566 df-sn 3587 df-pr 3588 df-op 3590 df-uni 3795 df-int 3830 df-iun 3873 df-br 3988 df-opab 4049 df-mpt 4050 df-tr 4086 df-id 4276 df-po 4279 df-iso 4280 df-iord 4349 df-on 4351 df-ilim 4352 df-suc 4354 df-iom 4573 df-xp 4615 df-rel 4616 df-cnv 4617 df-co 4618 df-dm 4619 df-rn 4620 df-res 4621 df-ima 4622 df-iota 5158 df-fun 5198 df-fn 5199 df-f 5200 df-f1 5201 df-fo 5202 df-f1o 5203 df-fv 5204 df-riota 5807 df-ov 5854 df-oprab 5855 df-mpo 5856 df-1st 6117 df-2nd 6118 df-recs 6282 df-frec 6368 df-pnf 7945 df-mnf 7946 df-xr 7947 df-ltxr 7948 df-le 7949 df-sub 8081 df-neg 8082 df-reap 8483 df-ap 8490 df-div 8579 df-inn 8868 df-n0 9125 df-z 9202 df-uz 9477 df-q 9568 df-fz 9955 df-seqfrec 10391 df-fac 10649 df-bc 10671

This theorem is referenced by: bcn2 10687

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