bcval5 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bcval5 10727

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcval5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5 Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 10714	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 7968	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
6		simpr1 1003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		simpr2 1004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpr3 1005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	mulassd 7971	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
10		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	11, 13	zsubcld 9369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
15	14	peano2zd 9367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
16		1red 7963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
17	12	nnred 8921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
18	10	nn0red 9219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	12	nnge1d 8951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ≤ 𝐾)
20	16, 17, 18, 19	lesub2dd 8509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1))
21	14	zred 9364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ)
22		leaddsub 8385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
23	21, 16, 18, 22	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
24	20, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
25		eluz2 9523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
26	15, 11, 24, 25	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
27	26	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
28		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
29		nnuz 9552	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
30	28, 29	eleqtrdi 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ_≥‘1))
31		fvi 5569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
32	31	elv 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝑘) = 𝑘
33		eluzelcn 9528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
35	32, 34	eqeltrid 2264	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
36	5, 9, 27, 30, 35	seq3split 10465	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
37		elfzuz3 10008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
39		eluznn 9589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
40	12, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41	40	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		facnn 10691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
44		facnn 10691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
45	28, 44	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
46	45	oveq1d 5884	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
47	36, 43, 46	3eqtr4d 2220	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
48	47	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
49	10	faccld 10700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 8922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
51	50	mulid2d 7966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
52	40, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
53	52	oveq2d 5885	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54	51, 53	eqtr3d 2212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
55		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (!‘0))
56		fac0 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = 1)
58		oveq1 5876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = (0 + 1))
59		0p1e1 9022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
60	58, 59	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = 1)
61	60	seqeq1d 10437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
62	61	fveq1d 5513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
63	57, 62	oveq12d 5887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
64	63	eqeq2d 2189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
65	54, 64	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
66		fznn0sub 10043	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
67	66	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
68		elnn0 9167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
69	67, 68	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
70	48, 65, 69	mpjaod 718	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
71	70	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
72		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))
73		fvi 5569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ V → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
74	73	elv 2741	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝑓) = 𝑓
75		eluzelcn 9528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑓 ∈ ℂ)
76	75	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑓 ∈ ℂ)
77	74, 76	eqeltrid 2264	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
78		mulcl 7929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
79	78	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
80	72, 15, 77, 79	seqf 10447	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))⟶ℂ)
81	80, 26	ffvelcdmd 5648	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
82	12	nnnn0d 9218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
83	82	faccld 10700	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
84	83	nncnd 8922	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
85	67	faccld 10700	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
86	85	nncnd 8922	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
87	83	nnap0d 8954	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
88	85	nnap0d 8954	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) # 0)
89	81, 84, 86, 87, 88	divcanap5d 8763	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
90	2, 71, 89	3eqtrd 2214	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
91		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 9218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
93	92	faccld 10700	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nncnd 8922	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
95	93	nnap0d 8954	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
96	94, 95	div0apd 8733	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
97		mulcl 7929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
98	97	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
99		eluzelcn 9528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
100	99	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
101	32, 100	eqeltrid 2264	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
102		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
103	102	mul02d 8339	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
104	102	mul01d 8340	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
105		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
106		nn0uz 9551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
107	92, 106	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
108		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
109	108	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
110		elfz5 10003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
111	107, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
112		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
113	112	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
114		nnre 8915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
116	113, 115	subge0d 8482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
117	111, 116	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
118	105, 117	mtbid 672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾))
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
120	119	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
122	121	nnzd 9363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
123	120, 122	zsubcld 9369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
124	123	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
125		0z 9253	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
126		zltnle 9288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
128	118, 127	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
129		zltp1le 9296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
130	124, 125, 129	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
131	128, 130	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0)
132		nn0ge0 9190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑁)
133	132	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
134		0zd 9254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
135	124	peano2zd 9367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
136		elfz 10001	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
137	134, 135, 109, 136	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
138	131, 133, 137	mpbir2and 944	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁))
139		0cn 7940	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
140		fvi 5569	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
141	139, 140	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
142	98, 101, 103, 104, 138, 141	seq3z 10497	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
143	142	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
144		nnz 9261	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
145		bcval3 10715	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
146	144, 145	syl3an2 1272	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
147	146	3expa 1203	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
148	96, 143, 147	3eqtr4rd 2221	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
149		0zd 9254	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
150		fzdcel 10026	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
151	122, 149, 120, 150	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
152		exmiddc 836	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
153	151, 152	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
154	90, 148, 153	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 708 DECID wdc 834 ∧ w3a 978 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 Vcvv 2737 class class class wbr 4000 I cid 4285 ‘cfv 5212 (class class class)co 5869 ℂcc 7800 ℝcr 7801 0cc0 7802 1c1 7803 + caddc 7805 · cmul 7807 < clt 7982 ≤ cle 7983 − cmin 8118 / cdiv 8618 ℕcn 8908 ℕ₀cn0 9165 ℤcz 9242 ℤ_≥cuz 9517 ...cfz 9995 seqcseq 10431 !cfa 10689 Ccbc 10711

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-fz 9996 df-seqfrec 10432 df-fac 10690 df-bc 10712

This theorem is referenced by: bcn2 10728

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