bcval5 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > bcval5		GIF version

Theorem bcval5 11223

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcval5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5 Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 11210	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		simprl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4		simprr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 8352	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
6		simpr1 1034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		simpr2 1035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		simpr3 1036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	mulassd 8355	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
10		simpll 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 9778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	11, 13	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
15	14	peano2zd 9782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
16		1red 8347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
17	12	nnred 9326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
18	10	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	12	nnge1d 9356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 1 ≤ 𝐾)
20	16, 17, 18, 19	lesub2dd 8897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1))
21	14	zred 9779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ)
22		leaddsub 8773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
23	21, 16, 18, 22	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ (𝑁 − 1)))
24	20, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
25		eluz2 9943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
26	15, 11, 24, 25	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
27	26	adantrr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
28		simprr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
29		nnuz 9974	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
30	28, 29	eleqtrdi 2331	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ_≥‘1))
31		fvi 5763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
32	31	elv 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝑘) = 𝑘
33		eluzelcn 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
35	32, 34	eqeltrid 2325	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
36	5, 9, 27, 30, 35	seq3split 10946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
37		elfzuz3 10442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
39		eluznn 10016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
40	12, 38, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41	40	adantrr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		facnn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
44		facnn 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
45	28, 44	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
46	45	oveq1d 6103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
47	36, 43, 46	3eqtr4d 2281	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
48	47	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
49	10	faccld 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 9327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
51	50	mullidd 8350	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
52	40, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
53	52	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54	51, 53	eqtr3d 2273	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
55		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (!‘0))
56		fac0 11188	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
57	55, 56	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = 1)
58		oveq1 6095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = (0 + 1))
59		0p1e1 9427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
60	58, 59	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = 1)
61	60	seqeq1d 10911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
62	61	fveq1d 5700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
63	57, 62	oveq12d 6106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
64	63	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
65	54, 64	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
66		fznn0sub 10480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
67	66	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
68		elnn0 9576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
69	67, 68	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
70	48, 65, 69	mpjaod 730	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
71	70	oveq1d 6103	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
72		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))
73		fvi 5763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ V → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
74	73	elv 2825	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝑓) = 𝑓
75		eluzelcn 9949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑓 ∈ ℂ)
76	75	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑓 ∈ ℂ)
77	74, 76	eqeltrid 2325	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
78		mulcl 8312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
79	78	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
80	72, 15, 77, 79	seqf 10922	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))⟶ℂ)
81	80, 26	ffvelcdmd 5847	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
82	12	nnnn0d 9631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
83	82	faccld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
84	83	nncnd 9327	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
85	67	faccld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
86	85	nncnd 9327	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
87	83	nnap0d 9359	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
88	85	nnap0d 9359	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) # 0)
89	81, 84, 86, 87, 88	divcanap5d 9155	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
90	2, 71, 89	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
91		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 9631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
93	92	faccld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nncnd 9327	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
95	93	nnap0d 9359	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) # 0)
96	94, 95	div0apd 9125	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
97		mulcl 8312	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
98	97	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
99		eluzelcn 9949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
100	99	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
101	32, 100	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
102		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
103	102	mul02d 8726	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
104	102	mul01d 8727	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
105		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
106		nn0uz 9973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
107	92, 106	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
108		simpll 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
109	108	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
110		elfz5 10437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
111	107, 109, 110	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
112		nn0re 9583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
113	112	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
114		nnre 9320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
116	113, 115	subge0d 8870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
117	111, 116	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
118	105, 117	mtbid 683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾))
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
120	119	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
122	121	nnzd 9778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
123	120, 122	zsubcld 9784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
124	123	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
125		0z 9666	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
126		zltnle 9701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
127	124, 125, 126	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
128	118, 127	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
129		zltp1le 9710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
130	124, 125, 129	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
131	128, 130	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0)
132		nn0ge0 9599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑁)
133	132	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
134		0zd 9667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
135	124	peano2zd 9782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
136		elfz 10434	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
137	134, 135, 109, 136	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
138	131, 133, 137	mpbir2and 957	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁))
139		0cn 8324	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
140		fvi 5763	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
141	139, 140	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
142	98, 101, 103, 104, 138, 141	seq3z 10986	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
143	142	oveq1d 6103	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
144		nnz 9674	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
145		bcval3 11211	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
146	144, 145	syl3an2 1312	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
147	146	3expa 1234	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
148	96, 143, 147	3eqtr4rd 2282	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
149		0zd 9667	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
150		fzdcel 10461	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
151	122, 149, 120, 150	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
152		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
153	151, 152	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
154	90, 148, 153	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 720 DECID wdc 846 ∧ w3a 1009 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 Vcvv 2821 class class class wbr 4131 I cid 4435 ‘cfv 5380 (class class class)co 6088 ℂcc 8183 ℝcr 8184 0cc0 8185 1c1 8186 + caddc 8188 · cmul 8190 < clt 8366 ≤ cle 8367 − cmin 8504 / cdiv 9010 ℕcn 9313 ℕ₀cn0 9574 ℤcz 9655 ℤ_≥cuz 9937 ...cfz 10428 seqcseq 10905 !cfa 11185 Ccbc 11207

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8276 ax-resscn 8277 ax-1cn 8278 ax-1re 8279 ax-icn 8280 ax-addcl 8281 ax-addrcl 8282 ax-mulcl 8283 ax-mulrcl 8284 ax-addcom 8285 ax-mulcom 8286 ax-addass 8287 ax-mulass 8288 ax-distr 8289 ax-i2m1 8290 ax-0lt1 8291 ax-1rid 8292 ax-0id 8293 ax-rnegex 8294 ax-precex 8295 ax-cnre 8296 ax-pre-ltirr 8297 ax-pre-ltwlin 8298 ax-pre-lttrn 8299 ax-pre-apti 8300 ax-pre-ltadd 8301 ax-pre-mulgt0 8302 ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-frec 6666 df-pnf 8368 df-mnf 8369 df-xr 8370 df-ltxr 8371 df-le 8372 df-sub 8506 df-neg 8507 df-reap 8911 df-ap 8918 df-div 9011 df-inn 9314 df-n0 9575 df-z 9656 df-uz 9938 df-q 10036 df-fz 10429 df-seqfrec 10906 df-fac 11186 df-bc 11208

This theorem is used by: bcn2 11224

W3C validator