Theorem cnblcld 15526

Description: Two ways to write the closed ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnblcld.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnblcld	⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnblcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absf 11820	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
2		ffn 5513	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3		elpreima 5802	. . . . 5 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅))))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)))
5		df-3an 1007	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
6		abscl 11761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 8339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
8		absge0 11770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
9	7, 8	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
11	10	biantrurd 305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
12	5, 11	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
13		0xr 8336	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
15		elicc1 10276	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
16	13, 14, 15	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
17		0cn 8282	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		cnblcld.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
19	18	cnmetdval 15520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
20		abssub 11811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
21	19, 20	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
22	17, 21	mpan 424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
23		subid1 8509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
24	23	fveq2d 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
25	22, 24	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
26	25	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
27	26	breq1d 4124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
28	12, 16, 27	3bitr4d 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅))
29	28	pm5.32da 452	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
30	4, 29	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
31	30	abbi2dv 2355	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)})
32		df-rab 2531	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)}
33	31, 32	eqtr4di 2285	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cab 2220  {crab 2526   class class class wbr 4114  ^◡ccnv 4753   “ cima 4757   ∘ ccom 4758   Fn wfn 5352  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  ℝ^*cxr 8323   ≤ cle 8325   − cmin 8460  [,]cicc 10243  abscabs 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-icc 10247  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by: (None)