Theorem cnblcld 14714

Description: Two ways to write the closed ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnblcld.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnblcld	⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnblcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absf 11257	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
2		ffn 5404	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3		elpreima 5678	. . . . 5 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅))))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)))
5		df-3an 982	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
6		abscl 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 8071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ*)
8		absge0 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
9	7, 8	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
11	10	biantrurd 305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
12	5, 11	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
13		0xr 8068	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
15		elicc1 9993	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
16	13, 14, 15	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)))
17		0cn 8013	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		cnblcld.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
19	18	cnmetdval 14708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
20		abssub 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
21	19, 20	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
22	17, 21	mpan 424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
23		subid1 8241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
24	23	fveq2d 5559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
25	22, 24	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
26	25	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
27	26	breq1d 4040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
28	12, 16, 27	3bitr4d 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅))
29	28	pm5.32da 452	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
30	4, 29	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,]𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)))
31	30	abbi2dv 2312	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)})
32		df-rab 2481	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅)}
33	31, 32	eqtr4di 2244	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,]𝑅)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (0𝐷𝑥) ≤ 𝑅})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  {crab 2476   class class class wbr 4030  ^◡ccnv 4659   “ cima 4663   ∘ ccom 4664   Fn wfn 5250  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  ℝ^*cxr 8055   ≤ cle 8057   − cmin 8192  [,]cicc 9960  abscabs 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-icc 9964  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146

This theorem is referenced by: (None)