ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnbl0 GIF version

Theorem cnbl0 14004
Description: Two ways to write the open ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
Assertion
Ref Expression
cnbl0 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜π·)𝑅))

Proof of Theorem cnbl0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 980 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅) ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
2 abscl 11059 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3 absge0 11068 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯))
42, 3jca 306 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
54adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
65biantrurd 305 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
71, 6bitr4id 199 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅) ↔ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
8 0re 7956 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 simpl 109 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
10 elico2 9936 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
118, 9, 10sylancr 414 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
12 0cn 7948 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
13 cnblcld.1 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
1413cnmetdval 13999 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)))
15 abssub 11109 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
1614, 15eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
1712, 16mpan 424 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
18 subid1 8176 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ 0) = π‘₯)
1918fveq2d 5519 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘₯))
2017, 19eqtrd 2210 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2120adantl 277 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2221breq1d 4013 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
237, 11, 223bitr4d 220 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (0𝐷π‘₯) < 𝑅))
2423pm5.32da 452 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
25 absf 11118 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
26 ffn 5365 . . . . 5 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 abs Fn β„‚
28 elpreima 5635 . . . 4 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅))))
2927, 28mp1i 10 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅))))
30 cnxmet 14001 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
3113, 30eqeltri 2250 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
32 elbl 13861 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3331, 12, 32mp3an12 1327 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3424, 29, 333bitr4d 220 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅)))
3534eqrdv 2175 1 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜π·)𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  β—‘ccnv 4625   β€œ cima 4629   ∘ ccom 4630   Fn wfn 5211  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„‚cc 7808  β„cr 7809  0cc0 7810  β„*cxr 7990   < clt 7991   ≀ cle 7992   βˆ’ cmin 8127  [,)cico 9889  abscabs 11005  βˆžMetcxmet 13410  ballcbl 13412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-xadd 9772  df-ico 9893  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator