ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnbl0 GIF version

Theorem cnbl0 13605
Description: Two ways to write the open ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cnbl0 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem cnbl0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 980 . . . . . 6 (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅))
2 abscl 11028 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
3 absge0 11037 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
42, 3jca 306 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
54adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
65biantrurd 305 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) < 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
71, 6bitr4id 199 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
8 0re 7932 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 simpl 109 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10 elico2 9908 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
118, 9, 10sylancr 414 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
12 0cn 7924 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
13 cnblcld.1 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (abs ∘ − )
1413cnmetdval 13600 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
15 abssub 11078 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
1614, 15eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
1712, 16mpan 424 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
18 subid1 8151 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
1918fveq2d 5511 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
2017, 19eqtrd 2208 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2120adantl 277 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2221breq1d 4008 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
237, 11, 223bitr4d 220 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) < 𝑅))
2423pm5.32da 452 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
25 absf 11087 . . . . 5 abs:ℂ⟶ℝ
26 ffn 5357 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 abs Fn ℂ
28 elpreima 5627 . . . 4 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
2927, 28mp1i 10 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
30 cnxmet 13602 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3113, 30eqeltri 2248 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
32 elbl 13462 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
3331, 12, 32mp3an12 1327 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
3424, 29, 333bitr4d 220 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ 𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅)))
3534eqrdv 2173 1 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2146   class class class wbr 3998  ccnv 4619  cima 4623  ccom 4624   Fn wfn 5203  wf 5204  cfv 5208  (class class class)co 5865  cc 7784  cr 7785  0cc0 7786  *cxr 7965   < clt 7966  cle 7967  cmin 8102  [,)cico 9861  abscabs 10974  ∞Metcxmet 13051  ballcbl 13053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-xadd 9744  df-ico 9865  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-psmet 13058  df-xmet 13059  df-met 13060  df-bl 13061
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator