Theorem cnbl0 15248

Description: Two ways to write the open ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnblcld.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnbl0	⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem cnbl0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1004	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅))
2		abscl 11602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
3		absge0 11611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
4	2, 3	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
6	5	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) < 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
7	1, 6	bitr4id 199	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
8		0re 8169	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10		elico2 10162	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
11	8, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
12		0cn 8161	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
13		cnblcld.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
14	13	cnmetdval 15243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
15		abssub 11652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
16	14, 15	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
17	12, 16	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
18		subid1 8389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
19	18	fveq2d 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
20	17, 19	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
21	20	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
22	21	breq1d 4096	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
23	7, 11, 22	3bitr4d 220	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) < 𝑅))
24	23	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
25		absf 11661	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
26		ffn 5479	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ abs Fn ℂ
28		elpreima 5762	. . . 4 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
29	27, 28	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
30		cnxmet 15245	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
31	13, 30	eqeltri 2302	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
32		elbl 15105	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
33	31, 12, 32	mp3an12 1361	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
34	24, 29, 33	3bitr4d 220	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ 𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅)))
35	34	eqrdv 2227	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ^◡ccnv 4722   “ cima 4726   ∘ ccom 4727   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022  ℝ^*cxr 8203   < clt 8204   ≤ cle 8205   − cmin 8340  [,)cico 10115  abscabs 11548  ∞Metcxmet 14540  ballcbl 14542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-xadd 9998  df-ico 10119  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550

This theorem is referenced by: (None)