ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnbl0 GIF version

Theorem cnbl0 14330
Description: Two ways to write the open ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
Assertion
Ref Expression
cnbl0 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜π·)𝑅))

Proof of Theorem cnbl0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 981 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅) ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
2 abscl 11074 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3 absge0 11083 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯))
42, 3jca 306 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
54adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
65biantrurd 305 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
71, 6bitr4id 199 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅) ↔ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
8 0re 7971 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 simpl 109 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
10 elico2 9951 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
118, 9, 10sylancr 414 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
12 0cn 7963 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
13 cnblcld.1 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
1413cnmetdval 14325 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)))
15 abssub 11124 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
1614, 15eqtrd 2220 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
1712, 16mpan 424 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
18 subid1 8191 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ 0) = π‘₯)
1918fveq2d 5531 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘₯))
2017, 19eqtrd 2220 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2120adantl 277 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2221breq1d 4025 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
237, 11, 223bitr4d 220 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (0𝐷π‘₯) < 𝑅))
2423pm5.32da 452 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
25 absf 11133 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
26 ffn 5377 . . . . 5 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 abs Fn β„‚
28 elpreima 5648 . . . 4 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅))))
2927, 28mp1i 10 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅))))
30 cnxmet 14327 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
3113, 30eqeltri 2260 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
32 elbl 14187 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3331, 12, 32mp3an12 1337 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3424, 29, 333bitr4d 220 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅)))
3534eqrdv 2185 1 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜π·)𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  β—‘ccnv 4637   β€œ cima 4641   ∘ ccom 4642   Fn wfn 5223  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„‚cc 7823  β„cr 7824  0cc0 7825  β„*cxr 8005   < clt 8006   ≀ cle 8007   βˆ’ cmin 8142  [,)cico 9904  abscabs 11020  βˆžMetcxmet 13722  ballcbl 13724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-rp 9668  df-xadd 9787  df-ico 9908  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-psmet 13729  df-xmet 13730  df-met 13731  df-bl 13732
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator