ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnbl0 GIF version

Theorem cnbl0 14195
Description: Two ways to write the open ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
Assertion
Ref Expression
cnbl0 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜π·)𝑅))

Proof of Theorem cnbl0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 980 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅) ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
2 abscl 11063 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3 absge0 11072 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯))
42, 3jca 306 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
54adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
65biantrurd 305 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
71, 6bitr4id 199 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅) ↔ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
8 0re 7960 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 simpl 109 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
10 elico2 9940 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
118, 9, 10sylancr 414 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
12 0cn 7952 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
13 cnblcld.1 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
1413cnmetdval 14190 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)))
15 abssub 11113 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
1614, 15eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
1712, 16mpan 424 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
18 subid1 8180 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ 0) = π‘₯)
1918fveq2d 5521 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘₯))
2017, 19eqtrd 2210 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2120adantl 277 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2221breq1d 4015 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
237, 11, 223bitr4d 220 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (0𝐷π‘₯) < 𝑅))
2423pm5.32da 452 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
25 absf 11122 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
26 ffn 5367 . . . . 5 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 abs Fn β„‚
28 elpreima 5638 . . . 4 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅))))
2927, 28mp1i 10 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅))))
30 cnxmet 14192 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
3113, 30eqeltri 2250 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
32 elbl 14052 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3331, 12, 32mp3an12 1327 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3424, 29, 333bitr4d 220 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅)))
3534eqrdv 2175 1 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜π·)𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  β—‘ccnv 4627   β€œ cima 4631   ∘ ccom 4632   Fn wfn 5213  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  β„‚cc 7812  β„cr 7813  0cc0 7814  β„*cxr 7994   < clt 7995   ≀ cle 7996   βˆ’ cmin 8131  [,)cico 9893  abscabs 11009  βˆžMetcxmet 13587  ballcbl 13589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-map 6653  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-xadd 9776  df-ico 9897  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-psmet 13594  df-xmet 13595  df-met 13596  df-bl 13597
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator